На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х
( Read more... )
...это не настоящее приложение. -- Мне не слишком понятно чем "настоящее" приложение отличается от "не настоящего", впрочем я не горю желанием это выяснять. Просто "приложение" без всякого прилагательного звучит достаточно убедительно.
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на
( ... )
...поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы -- меня просто всегда учили, что не стоит излишне углубляться в абстракции, мол математика изучает числа и фигуры. Я, правда, все равно увлекся модельными категориями, но всегда объясняю свой интерес к ним конкретными задачами, связанными с пространствами. Если бы я написал в Research Statement что-либо другое, то вряд-ли получил хоть какую-то позицию. Мне кажется, что в алгебраической геометрии дела обстоят схожим образом: часть людей вовсе не использует ни схемы ни алгебраические пространства (я таких не встречал, но мне говорили что имеются и весьма влиятельны), а те кто используют в обязательном порядке мотивируют свой интерес к ним конкретными задачами.
Что значит "вычислять"? -- вычислять означает получить эффективные средства вычислений, принципиальная вычислимость никому не помогает.
Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра -- конечно, золотой век настал. Только не для классической теории.
Даже понятие расслоения Гуревича появилось
( ... )
Вы слишком много сами себе противоречите. Не надо углубляться в абстракции, но Вы в них углубились. Вы не знаете алгебраических геометров, не работающих со схемами, и говорите, что схемы - не предмет алгебраической геометрии
( ... )
Вы не знаете алгебраических геометров, не работающих со схемами -- извините за задержку с ответом: коллега, который говорил мне об этом не проверял почту во время праздников. Сейчас он вернулся и предложил в качестве примера книжку Гриффитса-Харриса, в которой схемам посвящена ровно одна страница. Отсюда я делаю вывод, что люди занимающиеся комплексно-аналитической геометрией легко могут обойтись без схем.
Не надо углубляться в абстракции, но Вы в них углубились -- это противоречие между тем чему меня учили и моим карьерным путем, а не в моей аргументации. Я готов его обсуждать, но вряд ли Вам это будет интересно.
Вы придаете слишком большое значение Research Statemen -- спасибо, учту на будущее.
Что Вы понимаете под классической теорией, стало совсем непонятным -- классический этап развития гомотопической топологии это все работы изучающие пространства с точностью до (сильной) гомотопической эквивалентности (Пуанкаре, Александров, Хопф, Понтрягин,...). Выбор расслоений вторичен и до некоторой степени произволен. Классический этап
( ... )
Комплексно-аналитическая геометрия - это несколько другой предмет, нежели алгебраическая геометрия. И там тоже есть свой аналог схем - аналитические пространства, но это слишком трудный предмет для нового поколения
( ... )
...с какой стати к этому учению прислушиваться тем, кого этому не учили? -- у Вас кажется сложилось впечатление, что я критикую абстрактную математику. Это было бы странно, учитывая мою специализацию. Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей. Различные абстрактные понятия для этого весьма полезны. Более того, они часто представляют интерес сами по себе, но вряд ли можно говорить, что они подменяют собой основной предмет, поскольку не вся наука переключается на их изучение (например эквивариантная топология). Бывает и так, что какая-то абстракция срастается с абстракциями из других областей математики и тогда можно говорить о новой науке (например К-теория). Стабильная гомотопическая теория пока где-то по середине.
Я не уверен, что у него было это понятие -- понятия групп (ко)гомологий у него тоже не было. Это не помешало ему доказать теорему двойственности. Александров, Хопф, Понтрягин - тоже -- Ну а что же они изучали? Другого предмета
( ... )
" Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей."
Я утверждаю, что этого никогда не было. Я не знаю ни одной нетехнической (не вспомогательной) значительной работы о "пространства с точностью до слабых эквивалентностей". Может, у Вас есть пример?
"Ну а что же они изучали?"
Вряд здесь есть место для очерка по истории топологии. Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например.
Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром.
" Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области?"Да, конечно. Это совсем не оригинальная точка зрения
( ... )
Может, у Вас есть пример? -- да в общем-то любая работа по гомотопической топологии. Возьмите хотя бы инвариант Хопфа = 1. В гомотопической категории рассматриваются отображения из S^{2n-1} в S^n. Им ставятся в соответствие числа (инвариант Хопфа). Спрашивается: для каких n инвариант Хопфа может быть равен 1. Ответ: 2, 4 и 8.
Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например -- я Вас попросил сформулировать что является предметом изучения некой области, а Вы мне в ответ предлагаете почитать про историю ее развития. Это конечно интересно, но не тоже самое. Я просто не могу уловить в чем наше расхождение. Хотя похоже оно весьма фундаментально.
Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром. -- Сначала я этого Уайтхеда назвал старшим -- Вы возразили, потом я назвал его старым -- Вы промолчали. Я перестал его как-то определять, решив что Вы уже поняли о ком идет речь. Я их не объединяю, а обозначаю переходный этап в развитии топологии. Их работы появились на рубеже 49-50 годов и обозначили
( ... )
Проблема инварианта Хопфа - это не проблема о пространствах с точностью до слабых гомотопических эквивалентностей. Это проблема об отображниях сфер в сферы. Очень странно, что Вы привели ее в качестве примера, поскольку она в точно такой же степени является или не является проблемой о пространствах с точностью до сильной гомотопической эквивалентности.
Вы спросили, "Ну а что же они изучали?" На этот вопрос в двух словах не ответишь, и я отослал Вас к книге, в которой это подробно рассказано. Расхождение действительно фундаментально - Вы полагаете, что ответ на вопрос о том, чем занимается наука, можно дать на школьном уровне ("геометрия изучает плоские и пространственные фигуры"), я полагаю, что ответ можно дать только познакомившись с тем, чем реально занимались и занимаются в данной области
( ... )
Это проблема об отображниях сфер в сферы -- с точностью до гомотопии, заметьте, т.е. проблема формулируется в гомотопической категории.
...она в точно такой же степени является или не является проблемой о пространствах с точностью до сильной гомотопической эквивалентности -- конечно, это содержание теоремы того самого Уайтхеда. Различие достаточно тонкое и проявляется в технических вопросах, которые Вы вряд ли признаете интересными. Тем не менее задачи гомотопической топологии формулируются именно в гомотопической категории, а в какой из двух -- иногда это не важно, иногда критично.
Расхождение действительно фундаментально -- ответил ниже по ветке.
Он ввел техническое средство, CW-комплексы -- несколько больше: он ввел относительные CW-комплексы, которые вместе с ретрактами заменили классические расслоения (по Борсуку). Новый предмет изучения он тоже ввел -- это пространства с точностью до слабых эквивалентностей. CW-комплексы ему были нужны, чтобы показать, что новый предмет изучения совпадает со старым для хороших пространств
( ... )
Какая разница, какие гомотопические эквивалентности рассматриваются? Речь идет о сферах, самых обыкновенных, круглых. Отображения можно рассматривать только гладкие, или даже вещественно-аналитические. При чем тут слабые и сильные эквивалентности?
А работу Уайтхеда Вы смотрели?
"И появление этих двух работ с разницей в год весьма символично."
Ну и аргумент!
Далее у Вас получается порочный круг - Вы обосновываете свою точку зрения, заранее принимая ее. Если раздел математики определяется "предметом изучения" в Вашем смысле, то он им, разумеется, определяется. Содержания в такой аргументации - ноль.
"У меня не достаточно авторитета, чтобы высказываться за всю область, поэтому публично я этого делать не стану."А вот это меня, честно, потрясло. Я ожидал, что Вы расскажете про интересные результаты, интересные задачи. А Вы говорите про какой-то авторитет. Выходит, Вы просто не знаете никаких интересных результатов и задач. Из чего мне придется заключить, что их действительно нет, а есть внутреннее развитие теории, интересное только
( ... )
Какая разница, какие гомотопические эквивалентности рассматриваются? -- в данном случае никакой.
Речь идет о сферах, самых обыкновенных, круглых. Отображения можно рассматривать только гладкие, или даже вещественно-аналитические. -- речь идет о классах отображений с точностью до гомотопии. Сферы могут быть любые -- хоть квадратные, хоть с рожками. Отображения тоже. Важен только их класс эквивалентности.
При чем тут слабые и сильные эквивалентности? -- простите, я забыл что Вы можете этого не знать. Квиллен доказал, что гомотопическая категория является локализацией (в смысле Габриеля-Зисмана) категогрии пространств по классу эквивалентностей. Так что от выбора эквивалентностей зависят множества гомотопических классов отображений между пространствами.
А работу Уайтхеда Вы смотрели? -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз.
Ну и аргумент! -- хороший аргумент. Он говорит о том, что революция в области на тот момент назрела. А вы как думаете?
Вы обосновываете свою точку зрения, заранее принимая ее -- обоснований для своей точки
( ... )
Мало ли чего Квиллен доказал спустя 35 лет после Хопфа. Проблема инварината Хопфа была поставлена как задача об отображениях сфер в сферы. Да и решена она была до работы Квиллена. Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега.
""А работу Уайтхеда Вы смотрели?" -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз."
Ну вот видите! Вы мне излагаете какие-то недавние представления, сложившиеся у весьма узкой группы людей. А я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы. Вы даете ссылку - я нахожу работу, скачиваю, смотрю, что там написано. И Серра, и Уайтхеда.
Аргумент никудышный. Работы Серра и Уайтхеда принадлежат различным традициям, и никакой революции вместе не образуют. Работа Серра действительно революционна, а работа Уайтхеда разрабатывает технические средства.
Что касается пунктов программы, то я Вам уже ответил на это поводу Постникова - в начале приходится давать такие "псевдо-объяснения", поскольку у студентов еще нет знаний, чтобы понять настоящие.
"Предмет это не то чем область занимается, а то что ее
( ... )
Мало ли чего Квиллен доказал спустя 35 лет после Хопфа -- да нет, он это только обобщил и красиво записал. Я уверен, что и раньше было понятно, что слабые эквивалентности определяют гомотопическую категорию.
Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега -- не скажу, поскольку Ньютон не пользовался теорией меры, но если вы скажете, что Адамс не пользовался CW-комплексами, слабыми эквивалентностями и расслоениями Серра, то он наверное в гробу перевернется.
...сложившиеся у весьма узкой группы людей -- но ведь людей размышлявших именно над этими вопросами.
я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы -- видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы.
Тут снова проявляются почти диаметрально противоположные представления о математике. Начиная с оценки работы Квиллена. Самое яркое место:
"видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы."
Видите ли, из книг Вы не узнаете содержания ни одной работы. В частности, Вы не увидите перспективы. В книгах есть нечто, названное CW-комплексами, есть теорема Уайтхеда, и т.п. Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора, и так далее. Разумеется, начинать изучать предмет надо с книг. Но вот из книг у Вас сложилась неправильная картина - Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже.
( ... )
Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора -- у нас действительно очень разный взгляд на математику. Именно из-за того, что автор оригинальной работы полу-вековой давности интересуется вопросами, которые как правило потеряли актуальность я и не люблю смотреть в старые статьи, если есть достойная альтернатива. Когда Вам нужно освоить что-то новое Вы тоже предпочитаете обращаться к первоисточнику? Что-то мне подсказывает, что нет. По-крайней мере статьи Кана Вы не очень-то спешите читать.
Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже -- да, гладкость изложения в Фоменке-Фуксе обманчива в этом месте. Но я не думаю, что обманулся на каком-то концептуальном уровне.
А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали -- конечно, только с точки зрения истории мматематики это и интересно, но когда я говорю о революции в предмете последовавшей за той или иной работой, или о связи двух казалось бы не связанных работ, то
( ... )
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на ( ... )
Reply
я написал в Research Statement что-либо другое, то вряд-ли получил хоть какую-то позицию. Мне кажется, что в алгебраической геометрии дела обстоят схожим образом: часть людей вовсе не использует ни схемы ни алгебраические пространства (я таких не встречал, но мне говорили что имеются и весьма влиятельны), а те кто используют в обязательном порядке мотивируют свой интерес к ним конкретными задачами.
Что значит "вычислять"? -- вычислять означает получить эффективные средства вычислений, принципиальная вычислимость никому не помогает.
Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра -- конечно, золотой век настал. Только не для классической теории.
Даже понятие расслоения Гуревича появилось ( ... )
Reply
Reply
Не надо углубляться в абстракции, но Вы в них углубились -- это противоречие между тем чему меня учили и моим карьерным путем, а не в моей аргументации. Я готов его обсуждать, но вряд ли Вам это будет интересно.
Вы придаете слишком большое значение Research Statemen -- спасибо, учту на будущее.
Что Вы понимаете под классической теорией, стало совсем непонятным -- классический этап развития гомотопической топологии это все работы изучающие пространства с точностью до (сильной) гомотопической эквивалентности (Пуанкаре, Александров, Хопф, Понтрягин,...). Выбор расслоений вторичен и до некоторой степени произволен. Классический этап ( ... )
Reply
Reply
Я не уверен, что у него было это понятие -- понятия групп (ко)гомологий у него тоже не было. Это не помешало ему доказать теорему двойственности. Александров, Хопф, Понтрягин - тоже -- Ну а что же они изучали? Другого предмета ( ... )
Reply
Я утверждаю, что этого никогда не было. Я не знаю ни одной нетехнической (не вспомогательной) значительной работы о "пространства с точностью до слабых эквивалентностей". Может, у Вас есть пример?
"Ну а что же они изучали?"
Вряд здесь есть место для очерка по истории топологии. Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например.
Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром.
" Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области?"Да, конечно. Это совсем не оригинальная точка зрения ( ... )
Reply
Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например -- я Вас попросил сформулировать что является предметом изучения некой области, а Вы мне в ответ предлагаете почитать про историю ее развития. Это конечно интересно, но не тоже самое. Я просто не могу уловить в чем наше расхождение. Хотя похоже оно весьма фундаментально.
Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром. -- Сначала я этого Уайтхеда назвал старшим -- Вы возразили, потом я назвал его старым -- Вы промолчали. Я перестал его как-то определять, решив что Вы уже поняли о ком идет речь. Я их не объединяю, а обозначаю переходный этап в развитии топологии. Их работы появились на рубеже 49-50 годов и обозначили ( ... )
Reply
Вы спросили, "Ну а что же они изучали?" На этот вопрос в двух словах не ответишь, и я отослал Вас к книге, в которой это подробно рассказано. Расхождение действительно фундаментально - Вы полагаете, что ответ на вопрос о том, чем занимается наука, можно дать на школьном уровне ("геометрия изучает плоские и пространственные фигуры"), я полагаю, что ответ можно дать только познакомившись с тем, чем реально занимались и занимаются в данной области ( ... )
Reply
...она в точно такой же степени является или не является проблемой о пространствах с точностью до сильной гомотопической эквивалентности -- конечно, это содержание теоремы того самого Уайтхеда. Различие достаточно тонкое и проявляется в технических вопросах, которые Вы вряд ли признаете интересными. Тем не менее задачи гомотопической топологии формулируются именно в гомотопической категории, а в какой из двух -- иногда это не важно, иногда критично.
Расхождение действительно фундаментально -- ответил ниже по ветке.
Он ввел техническое средство, CW-комплексы -- несколько больше: он ввел относительные CW-комплексы, которые вместе с ретрактами заменили классические расслоения (по Борсуку). Новый предмет изучения он тоже ввел -- это пространства с точностью до слабых эквивалентностей. CW-комплексы ему были нужны, чтобы показать, что новый предмет изучения совпадает со старым для хороших пространств ( ... )
Reply
А работу Уайтхеда Вы смотрели?
"И появление этих двух работ с разницей в год весьма символично."
Ну и аргумент!
Далее у Вас получается порочный круг - Вы обосновываете свою точку зрения, заранее принимая ее. Если раздел математики определяется "предметом изучения" в Вашем смысле, то он им, разумеется, определяется. Содержания в такой аргументации - ноль.
"У меня не достаточно авторитета, чтобы высказываться за всю область, поэтому публично я этого делать не стану."А вот это меня, честно, потрясло. Я ожидал, что Вы расскажете про интересные результаты, интересные задачи. А Вы говорите про какой-то авторитет. Выходит, Вы просто не знаете никаких интересных результатов и задач. Из чего мне придется заключить, что их действительно нет, а есть внутреннее развитие теории, интересное только ( ... )
Reply
Речь идет о сферах, самых обыкновенных, круглых. Отображения можно рассматривать только гладкие, или даже вещественно-аналитические. -- речь идет о классах отображений с точностью до гомотопии. Сферы могут быть любые -- хоть квадратные, хоть с рожками. Отображения тоже. Важен только их класс эквивалентности.
При чем тут слабые и сильные эквивалентности? -- простите, я забыл что Вы можете этого не знать. Квиллен доказал, что гомотопическая категория является локализацией (в смысле Габриеля-Зисмана) категогрии пространств по классу эквивалентностей. Так что от выбора эквивалентностей зависят множества гомотопических классов отображений между пространствами.
А работу Уайтхеда Вы смотрели? -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз.
Ну и аргумент! -- хороший аргумент. Он говорит о том, что революция в области на тот момент назрела. А вы как думаете?
Вы обосновываете свою точку зрения, заранее принимая ее -- обоснований для своей точки ( ... )
Reply
""А работу Уайтхеда Вы смотрели?" -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз."
Ну вот видите! Вы мне излагаете какие-то недавние представления, сложившиеся у весьма узкой группы людей. А я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы. Вы даете ссылку - я нахожу работу, скачиваю, смотрю, что там написано. И Серра, и Уайтхеда.
Аргумент никудышный. Работы Серра и Уайтхеда принадлежат различным традициям, и никакой революции вместе не образуют. Работа Серра действительно революционна, а работа Уайтхеда разрабатывает технические средства.
Что касается пунктов программы, то я Вам уже ответил на это поводу Постникова - в начале приходится давать такие "псевдо-объяснения", поскольку у студентов еще нет знаний, чтобы понять настоящие.
"Предмет это не то чем область занимается, а то что ее ( ... )
Reply
Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега -- не скажу, поскольку Ньютон не пользовался теорией меры, но если вы скажете, что Адамс не пользовался CW-комплексами, слабыми эквивалентностями и расслоениями Серра, то он наверное в гробу перевернется.
...сложившиеся у весьма узкой группы людей -- но ведь людей размышлявших именно над этими вопросами.
я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы -- видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы.
...никакой ( ... )
Reply
"видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы."
Видите ли, из книг Вы не узнаете содержания ни одной работы. В частности, Вы не увидите перспективы. В книгах есть нечто, названное CW-комплексами, есть теорема Уайтхеда, и т.п. Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора, и так далее. Разумеется, начинать изучать предмет надо с книг. Но вот из книг у Вас сложилась неправильная картина - Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже. ( ... )
Reply
Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже -- да, гладкость изложения в Фоменке-Фуксе обманчива в этом месте. Но я не думаю, что обманулся на каком-то концептуальном уровне.
А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали -- конечно, только с точки зрения истории мматематики это и интересно, но когда я говорю о революции в предмете последовавшей за той или иной работой, или о связи двух казалось бы не связанных работ, то ( ... )
Reply
Leave a comment