На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х
( Read more... )
...это не настоящее приложение. -- Мне не слишком понятно чем "настоящее" приложение отличается от "не настоящего", впрочем я не горю желанием это выяснять. Просто "приложение" без всякого прилагательного звучит достаточно убедительно.
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на
( ... )
Звучит так, что им бы следовало это знать -- нет, это всего лишь пример того, насколько далеко разошлись эти области. Для комбинаторики вроде бы важная концепция. Нужна ли она топологам? Не думаю. Разве что удасться что-нибудь продвинуть в комбинаторике.
В статье по ссылке никаких серьезых аргументов нет. Авторы рассматривают ситуацию, в которой структура куба {+,-} присутствует с самого начала. Триангулировать этот куб, действительно, незачем.
"чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще."
Нет. Burden of proof на другой стороне. Имеется полезная и удобная теория, с массой разнообразных приложений. Если некто утверждает, что другая теория лучше, он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов.
"Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства."
Билдинги Титса, например. Нерв любой категории является симплициальным множеством, в частности, BG = K(G,1), где G - дискретная группа.
" нет, области настолько далеко разошлись"Какие области далеко разошлись? Комбинаторика и топология?
( ... )
Если некто утверждает, что другая теория лучше... -- для ясности: я этого не утверждал, наоборот выше в этой ветке выражал уверенность, что технических преимуществ кубов не достаточно чтобы перетянуть чашу весов.
...он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов. -- понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?
Билдинги Титса -- это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу.
Нерв любой категории является симплициальным множеством -- кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина).
Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. -- ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика
( ... )
"понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?"
А зачем? Если они не лучше, а симплексами мы уже давно освоились, то стоит ли плодить сущности без необходимости?
"это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу."
Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы, а не о симплициальных множествах. Но, я думаю, вы знаете, как состряпать из симплициального комплекса симплициальное множество. Особенно в том случае, когда на вершинах есть канонический порядок.
" кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина)."
А зачем его заменять, когда они сразу получаются как симплициальные множества, и эта конструкция связана с другими полезными конструкциями? Определение, конечно, не то же самое.
...стоит ли плодить сущности без необходимости? -- это вопрос Гротендику? Гипотеза вроде его была.
Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы -- а Вы привели мне пример реализации абстрактного симплициального комплекса, так реализация любого симплициального комплекса будет разбита на симплексы, тут не требуется конкретизация, равно как и реализация любого кубического множества будет разбита на кубы.
А зачем его заменять -- незачем.
они сразу получаются как симплициальные множества -- что значит сразу? Надо сначала определить. Можно определять как симплициальное множество, а можно как кубическое.
Определение, конечно, не то же самое -- с точностью до замены симплексов на кубики. Хотя я не уверен что Вы считаете определением. Я имею ввиду следующее: n-мерные симплексы это все функторы из ординала [n-1] в данную категорию.
Во, а люди-то и не знают -- Я имел ввиду увеличивающийся разрыв между комбинаторикой абстрактных симплициальных комплексов и гомотопической топологией. Насколько я знаю, в
( ... )
Давайте так - если Вы говорите от своего лица, то Вы не отсылаете меня к Гротендику за объяснениями. Гротендику 80 лет, он уже давно никому не доступен, и спросить его я не могу. Нет у меня и времени разбираться в его тысячестраничных манускриптах. Гротендик работал на запредельном уровне в 1950-70-м, но это не основание считать все написанное после священным писанием
( ... )
...не отсылаете меня к Гротендику за объяснениями -- разумеется не отсылаю, это был риторический вопрос. Просто Вы сформулировали свой вопрос так (зачем умножать сущности?), как будто бы я несу за это ответственность. Я не мог не указать на первоисточник.
...но это не основание считать все написанное после священным писанием -- больше не буду, но конкретно эту его гипотезу, а также ее решение я считаю важным концептуальным шагом на пути к пониманию математического космоса. Практических последствий от этого не ожидаю.
Вы не привели ни одного примера полезного кубического комплекса... -- видимо в том смысле, в котором вы это понимаете таких примеров нет. Я не преследовал цель убедить Вас в полезности кубических комплексов, а всего лишь привел контр-аргумент к Вашему утверждению, что они исчезли из математики.
При чем тут использование результатов комбинаторики в топологии? -- совершенно не при чем, это был ответ на Вашу реплику: "Во, а люди-то и не знают".
Симплициальные комплексы входят в любой вводный курс топологии -- повторяю:
( ... )
Да, я скачал и Ваши работы тоже. Парочку. Время от времени я попадаю в search committee, да и без этого участвую в обсуждении кандидатов. Служебные обязанности, ничего не поделаешь. Дискуссии о том, является ли данный кандидат, скажем, топологом, мне приходилось наблюдать. И участвовать в таких дискуссиях. Так что мои соображения основаны на опыте, а не на теоретических представлениях.
В остальном мы ходим по кругу. Даже в том, что касается леммы Мура - это какая-то техническая тонкость, которую никто не сможет объяснить коллегам в search committee.
Служебные обязанности, ничего не поделаешь -- но я в этом году не подаю на работу, так что вопрос о моей персональной классификации не стоит так остро.
В остальном мы ходим по кругу -- чтобы не ходить по кругу нужно вспомнить с чего мы начинали. Я рассказал Вам про гипотезу Гротендика и ее недавнее решение. Вы сказали что это интересно и на этом можно было бы завершить этот тред, но тут возник спор о роли симплексов в природе
( ... )
Мне казалось, что мы все обсуждаем не вопрос о Вашем устройстве на работу, а вопрос о том, кого люди считают топологами.
Нет, я понимаю естественность именно в математическом смысле. Не в узком смысле функториальности, как это слово иногда используется, а в том смысле, в котором математики используют его при обсуждении теорем, доказательств, и определений.
"Разумеется симплексы возникают постоянно и естественно, но это не означает, что их нельзя заменить чем-то другим."
Это означает, что не нужно. Раз уж они, как Вы согласились, "возникают постоянно и естественно", зачем их каждый раз заменять? Это было бы очень странным занятием.
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на ( ... )
Reply
Reply
Reply
я даже до определения не добрался -- я тоже не добрался, поэтому и дал ссылку.
Reply
Reply
"чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще."
Нет. Burden of proof на другой стороне. Имеется полезная и удобная теория, с массой разнообразных приложений. Если некто утверждает, что другая теория лучше, он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов.
"Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства."
Билдинги Титса, например. Нерв любой категории является симплициальным множеством, в частности, BG = K(G,1), где G - дискретная группа.
" нет, области настолько далеко разошлись"Какие области далеко разошлись? Комбинаторика и топология? ( ... )
Reply
...он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов. -- понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?
Билдинги Титса -- это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу.
Нерв любой категории является симплициальным множеством -- кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина).
Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. -- ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика ( ... )
Reply
А зачем? Если они не лучше, а симплексами мы уже давно освоились, то стоит ли плодить сущности без необходимости?
"это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу."
Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы, а не о симплициальных множествах. Но, я думаю, вы знаете, как состряпать из симплициального комплекса симплициальное множество. Особенно в том случае, когда на вершинах есть канонический порядок.
" кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина)."
А зачем его заменять, когда они сразу получаются как симплициальные множества, и эта конструкция связана с другими полезными конструкциями? Определение, конечно, не то же самое.
"ни раньше, не сегодня особого ( ... )
Reply
Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы -- а Вы привели мне пример реализации абстрактного симплициального комплекса, так реализация любого симплициального комплекса будет разбита на симплексы, тут не требуется конкретизация, равно как и реализация любого кубического множества будет разбита на кубы.
А зачем его заменять -- незачем.
они сразу получаются как симплициальные множества -- что значит сразу? Надо сначала определить. Можно определять как симплициальное множество, а можно как кубическое.
Определение, конечно, не то же самое -- с точностью до замены симплексов на кубики. Хотя я не уверен что Вы считаете определением. Я имею ввиду следующее: n-мерные симплексы это все функторы из ординала [n-1] в данную категорию.
Во, а люди-то и не знают -- Я имел ввиду увеличивающийся разрыв между комбинаторикой абстрактных симплициальных комплексов и гомотопической топологией. Насколько я знаю, в ( ... )
Reply
Reply
...но это не основание считать все написанное после священным писанием -- больше не буду, но конкретно эту его гипотезу, а также ее решение я считаю важным концептуальным шагом на пути к пониманию математического космоса. Практических последствий от этого не ожидаю.
Вы не привели ни одного примера полезного кубического комплекса... -- видимо в том смысле, в котором вы это понимаете таких примеров нет. Я не преследовал цель убедить Вас в полезности кубических комплексов, а всего лишь привел контр-аргумент к Вашему утверждению, что они исчезли из математики.
При чем тут использование результатов комбинаторики в топологии? -- совершенно не при чем, это был ответ на Вашу реплику: "Во, а люди-то и не знают".
Симплициальные комплексы входят в любой вводный курс топологии -- повторяю: ( ... )
Reply
В остальном мы ходим по кругу. Даже в том, что касается леммы Мура - это какая-то техническая тонкость, которую никто не сможет объяснить коллегам в search committee.
Reply
В остальном мы ходим по кругу -- чтобы не ходить по кругу нужно вспомнить с чего мы начинали. Я рассказал Вам про гипотезу Гротендика и ее недавнее решение. Вы сказали что это интересно и на этом можно было бы завершить этот тред, но тут возник спор о роли симплексов в природе ( ... )
Reply
Нет, я понимаю естественность именно в математическом смысле. Не в узком смысле функториальности, как это слово иногда используется, а в том смысле, в котором математики используют его при обсуждении теорем, доказательств, и определений.
"Разумеется симплексы возникают постоянно и естественно, но это не означает, что их нельзя заменить чем-то другим."
Это означает, что не нужно. Раз уж они, как Вы согласились, "возникают постоянно и естественно", зачем их каждый раз заменять? Это было бы очень странным занятием.
Reply
---------------------
\ | /
\ | /
\ | /
\ / \ /
\ / \ /
\/ \/
\ /
\ /
\ /
V
Более общо, n-мерный симплекс можно разбить на (n+1) n-мерный куб.
Reply
Reply
Leave a comment