«Точные функторы алгебры»

[ulysses4ever]

Как это часто бывает, получилось не совсем то, что предполагалось, а существенно меньше - к сожалению, до функторов не дошли. Сегодняшний доклад можно было бы назвать «Точные последовательности и абелевы категории

Comments

1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

[ext_179323]

Шенк - шикарная книжка, там продемонстрировано, как весь это stuff можно запихнуть в калькулятор, и как оно там будет само себя считать. Но для такой цели, как изучение аксиоматики абелевых категорий, такой выбор не совсем подходящий. Это скорее решебник, чем учебник или задачник.

Прежде, чем разбирать ее, как минимум, стоило бы посмотреть "обзор" Шафаревича - книжку более универсальную. А еще лучше познакомиться с тем, как теория строилась с самого начала у Маклейна - иначе намерения "сильней связать алгебру и ТК" будут выглядеть, мягко говоря, странными, - ведь сама ТК была использована первоначально Маклейном как раз для работы с комплексами и точными последовательностями (и, получается, наоброт, ради этого создавалась).

Чтобы наша библиография была полной, то наверное оптимальной, покрывающей Шенка монографией (и того, что у Вы запланировали - "Derived Functors, Tor and Ext"), будет Гельфанд+Манин, соответствующие главы. А из минимального можно почитать учебник Ленга - там тоже есть глава.

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

[ext_179323]

(хымъ, оно опять съело ссылки)

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

[ulysses4ever]

На почту мне пришло так, как было, как я думаю, в оригинале, аккуратно.

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

[ext_179323]

Успокоили старика. Спасибо.

2/ На примере групп

[ext_179323]

С понятием расширения мы все знакомимся в первом классе, когда изучаем способ сложения многоразрядных чисел в общепринятой позиционной системе счисления. Там есть перенос. Без переноса правило поразрядного сложения давало бы структуру прямой суммы абелевых групп, описывающих сложение одного разряда [1]. Перенос, "восемь пишем, один в уме", - и есть коцикл, задающий расширение Z_{p} -> Z_{p^{n+1}} -> Z_{p^{n}}. Задача об описании расширений - это вопрос, сколько есть существенно разных способов складывать "с переносом" (коциклов

3/ Достаточно требовать только одно из 3' и 3''

[ext_179323]

Есть жанр таких теорем: пусть ***, тогда следующие условия эквивалентны: ***. Как правило, подобная теорема сопровождается определением "... и назовем эту ситуацию %%%". Такова одна из особенностей современной математики, восходящая, по сути, к идее The Book, как я ее здесь проинтерпретирую: книги проясняющих описаний, превращающих все верные высказывания в самоочевидные

Re: 3/ Достаточно требовать только одно из 3' и 3''

[ulysses4ever]

> И вопрос на засыпку: удовлетворяет ли категория групп (не обязательно абелевых) определению абелевой (в той форме, в какой оно приведено)?

Я не уверен, что правильно понял вопрос, но если он состоит в том, является ли категория групп абелевой, то нет вроде бы потому, что не всякий мономорфизм чьё-то ядро. (Чтобы быть чьим-то ядром нужно быть нормальной подгруппой, а образ мономорфизма не обязательно удовлетворяет этому условию).

4/ интересуют доказательства 2.11, 2.12

[ext_179323]

Эти доказательства у Фрейда можно считать классическим примером диаграммного поиска (ДП). Доказательством изоморфности (чего-то чему-то) является предъявление явной конструкции самого изоморфизма, т.е. пары морфизмов и равенств. При этом мы можем пользоваться только композициями морфизмов и действием функторов на них. Применения правил вывода, специфичных для логической подсистемы, обычно здесь не встречается, нас интересует только конструкция. Это означает, что, в принципе, можно написать целую книжку про гомологию, не упоминая логических вовсе, хотя вряд ли кто задавался подобной целью

Re: 4/ интересуют доказательства 2.11, 2.12

[ext_179323]

"стаяла"="стояла"

Re: 4/ интересуют доказательства 2.11, 2.12

[ulysses4ever]

Мне кажется, что я не понимаю доказательств Фрейда не из-за того, что он применяет ДП.