«Точные функторы алгебры»
Как это часто бывает, получилось не совсем то, что предполагалось, а существенно меньше - к сожалению, до функторов не дошли. Сегодняшний доклад можно было бы назвать «Точные последовательности и абелевы категории».
Моя задумка: как можно сильней связать алгебру и ТК. Идея доклада родилась из книжки Schenck, Computational algebraic geometry, (CUP, 2003) (глава 6, Functors: Localization, Hom, and Tensor). Там от категорий только слово функтор в основном, автор не очень стремится развивать использование категорного аппарат. Однако там в центре внимание точность функторов (сохранения точных последовательностей). Разбираясь с темой, я увидел, что это близко к абелевым категориям: в них удобно рассматривать точные последовательности.
Я начал с алгебры. На примере групп рассказал про точные последовательности, короткие точные последовательности, попытался всех убедить, что это интересно и полезно. К сожалению, опыта у меня не хватает, так что, в основном, пересказывал Википедию про extension problem - решение уравнения, когда в короткой точной последовательности неизвестен средний член, привёл splitting lemma, которая даёт условия, при которых получается решить это уравнение однозначно (с точностью до изоморфизма), и, собственно, решение; упомянул про применения в задачи классификации простых конечных групп.
Категории. Дальше медленно, но верно стал подбираться к тому, чтобы понятие точности перевести в категорный язык и, одновременно, определить абелевы категории. Ввёл 0-объект (по определению, одновременно терминальный и инициальный), семейства 0-морфизмов 0_{A,B} для любых A и B, объектов категории с 0-объектом. (Ко)Ядра морфизма (как (ко)уравнителя этого морфизма и 0-морфизма; заодно вспомнили и закрепили понятие (ко)уравнителя). Напомнил понятие моно(эпи)морфизма. Ввёл понятия оттягивания и выталкивания (pullback/pushout).
Наконец, ввёл понятие абелевой категории. Абелева категория довольно хитрое понятие: существует несколько подходов к определению. Я сказал так (просьба поправлять, если я был не точен): C - абелева, если выполнено:
1) есть 0-объект
2) каждый моно(эпи)морфизм нормален (т.е. является (ко)ядром какого-то морфизма)
3' ) есть pullbacks, pushouts
3'') есть конечные (ко)произведения и у любого морфизма есть (ко)ядро
Достаточно требовать только одно из 3' и 3'', другое может быть доказано. Этот факт заинтересовал аудиторию, как и меня, но я не успел заранее разобраться с доказательством. Более сильная теорема, содержащая третье определение и их эквивалентность приведена с доказательством в книге Mitchell, Theory of Categories (1965) (Th. 20.1).
На этом всё кончилось. До функторов, к сожалению, не дошли. Если это продолжать, хотелось бы сделать следующее.
1) доказать эквивалентность определений абелевых категорий (всё-таки важное понятие и такое доказательство могло бы углубить понимание, мне кажется).
2) обсудить какие-нибудь хорошие свойства абелевых категорий. Например, мне очень нравится, что в ней выполнено следующее: моно+эпи=изо (чего нет в общих категориях). Эта теорема есть, например, в книге Freyd, Abelian categories, Introduction to theory of functors (1984), но я совершенно не понимаю доказательства в ней (именно, интересуют доказательства 2.11, 2.12 - надеюсь на помощь более опытных товарищей).
3) дойти всё-таки до обещанных точных функторов, может быть, в более категоризованной форме, чем в книге Schenck.
4) продолжить знакомство с понятиями алгебраической геометрии, использующими категорный аппарат, по книге Schenck: глава 8, Snake Lemma, Derived Functors, Tor and Ext.
Я готов в следующий раз попытаться продолжить по этому плану, если у Османа нет возражений или других предложений. У нас есть ещё Коля с алгебраической топологией, но он сказал, что ему хотелось бы через две недели.
Моя задумка: как можно сильней связать алгебру и ТК. Идея доклада родилась из книжки Schenck, Computational algebraic geometry, (CUP, 2003) (глава 6, Functors: Localization, Hom, and Tensor). Там от категорий только слово функтор в основном, автор не очень стремится развивать использование категорного аппарат. Однако там в центре внимание точность функторов (сохранения точных последовательностей). Разбираясь с темой, я увидел, что это близко к абелевым категориям: в них удобно рассматривать точные последовательности.
Я начал с алгебры. На примере групп рассказал про точные последовательности, короткие точные последовательности, попытался всех убедить, что это интересно и полезно. К сожалению, опыта у меня не хватает, так что, в основном, пересказывал Википедию про extension problem - решение уравнения, когда в короткой точной последовательности неизвестен средний член, привёл splitting lemma, которая даёт условия, при которых получается решить это уравнение однозначно (с точностью до изоморфизма), и, собственно, решение; упомянул про применения в задачи классификации простых конечных групп.
Категории. Дальше медленно, но верно стал подбираться к тому, чтобы понятие точности перевести в категорный язык и, одновременно, определить абелевы категории. Ввёл 0-объект (по определению, одновременно терминальный и инициальный), семейства 0-морфизмов 0_{A,B} для любых A и B, объектов категории с 0-объектом. (Ко)Ядра морфизма (как (ко)уравнителя этого морфизма и 0-морфизма; заодно вспомнили и закрепили понятие (ко)уравнителя). Напомнил понятие моно(эпи)морфизма. Ввёл понятия оттягивания и выталкивания (pullback/pushout).
Наконец, ввёл понятие абелевой категории. Абелева категория довольно хитрое понятие: существует несколько подходов к определению. Я сказал так (просьба поправлять, если я был не точен): C - абелева, если выполнено:
1) есть 0-объект
2) каждый моно(эпи)морфизм нормален (т.е. является (ко)ядром какого-то морфизма)
3' ) есть pullbacks, pushouts
3'') есть конечные (ко)произведения и у любого морфизма есть (ко)ядро
Достаточно требовать только одно из 3' и 3'', другое может быть доказано. Этот факт заинтересовал аудиторию, как и меня, но я не успел заранее разобраться с доказательством. Более сильная теорема, содержащая третье определение и их эквивалентность приведена с доказательством в книге Mitchell, Theory of Categories (1965) (Th. 20.1).
На этом всё кончилось. До функторов, к сожалению, не дошли. Если это продолжать, хотелось бы сделать следующее.
1) доказать эквивалентность определений абелевых категорий (всё-таки важное понятие и такое доказательство могло бы углубить понимание, мне кажется).
2) обсудить какие-нибудь хорошие свойства абелевых категорий. Например, мне очень нравится, что в ней выполнено следующее: моно+эпи=изо (чего нет в общих категориях). Эта теорема есть, например, в книге Freyd, Abelian categories, Introduction to theory of functors (1984), но я совершенно не понимаю доказательства в ней (именно, интересуют доказательства 2.11, 2.12 - надеюсь на помощь более опытных товарищей).
3) дойти всё-таки до обещанных точных функторов, может быть, в более категоризованной форме, чем в книге Schenck.
4) продолжить знакомство с понятиями алгебраической геометрии, использующими категорный аппарат, по книге Schenck: глава 8, Snake Lemma, Derived Functors, Tor and Ext.
Я готов в следующий раз попытаться продолжить по этому плану, если у Османа нет возражений или других предложений. У нас есть ещё Коля с алгебраической топологией, но он сказал, что ему хотелось бы через две недели.