«Точные функторы», продолжение
На последней встрече, вчера, было продолжено обсуждение абелевых категорий и «точности». Про первые: обсудили ещё одно (к двум, введённым в прошлый раз) определение абелевой категории, как категории, обогащённой над категорией абелевых групп (я перечислил всю иерархию по Фрейду: предаддитивные-аддитивные-предабелевы-абелевы). Рассмотрели связь мономорфизмов и ядер: вспомнили, что любое ядро, как любой уравнитель, является мономорфизмом; доказали, что если морфизм в абелевой категории является моно и эпи, то он является и изоморфизмом (в общих категориях это не так). Сформулировали без доказательства теорему о разложении любого морфизма абелевой категории в произведение моно и эпиморфизма.
С алгебраической частью было много дырок: я не доготовился. Сначала разбирались с локализацией колец, потом, с горем пополам, модулей. Доказали, что функтор локализации точный. Верно было замечено, что не хватает мотивировок, то есть примеров того, чем хороши точные функторы или хотя бы сама локализация. Затем обсуждались Hom-функторы из категории модулей. Вспомнили, что они контравариантные, сформулировали, что они точные слева, посмотрели на пример в котором очевидно теряется точность справа. Затем я хотел привести пример применения Hom-функторов в народном хозяйстве, а именно, в теории симплициальных комплексов. Здесь мне совершенно законно указали на недостаточную аккуратность с понятием ориентированного симплекса.
С алгебраической частью было много дырок: я не доготовился. Сначала разбирались с локализацией колец, потом, с горем пополам, модулей. Доказали, что функтор локализации точный. Верно было замечено, что не хватает мотивировок, то есть примеров того, чем хороши точные функторы или хотя бы сама локализация. Затем обсуждались Hom-функторы из категории модулей. Вспомнили, что они контравариантные, сформулировали, что они точные слева, посмотрели на пример в котором очевидно теряется точность справа. Затем я хотел привести пример применения Hom-функторов в народном хозяйстве, а именно, в теории симплициальных комплексов. Здесь мне совершенно законно указали на недостаточную аккуратность с понятием ориентированного симплекса.