Теория конечных полей. Самые основы.

[dspc55]

                Буду очень благодарен за помощь. Ответить на мой вопрос матеметику будет, полагаю, не сложно, но, возможно, хлопотно, приношу заранее извинения. Я инженер, не математик. Читаю сейчас "Finite Fields for Computer Scientists and Engineers. McEliece" (есть, например, в либгене). Застрял на одном месте, в котором хотелось бы разобраться

Comments

[rus4]

Пусть x элемент порядка 12, тогда 0=x^12-1=(x^6-1)(x^6+1). Первая скобка не равна 0, поскольку тогда порядок x был бы не более 6, так что 0=x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1). Первая скобка не равна 0, поскольку тогда порядок x был бы не более 4, поэтому x^4-x^2+1=0. Это уравнение 4 степени, оно имеет не более 4 корней, поэтому элементов порядка 12 не более 4.

[dspc55]

Спасибо. Круто, конечно. Требует изобретательности, мне кажется. А есть общий метод док-ва в таком духе, для произвольного порядка?

[rus4]

Да, в общей ситуации надо делить многочлен x^n-1 на общие делители с мнгогочленами x-1, x^2-1, .... , x^(n-1)-1. Получится многочлен, который называется n-м многочленом деления круга (или циклотомическим многочленом), его степень равна phi(n), где phi - функция Эйлера. Для n=12 имеем phi(12)=4, вот и получается многочлен 4 степени x^4-x^2+1.

[garconnumeroun]

Например, это можно увидеть с помощью Леммы 5.3 применимо к многочлену

[dspc55]

Спасибо. Лемма 5.3, действительно, даёт ответ на проблему. Удивительно, но они на неё не ссылаются. Запутанное какое-то изложение, не находите (вижу у вас есть книга)? Или это я так сильно торможу.

[garconnumeroun]

McEliece "проговаривается" про это в параграфе, предшествующем доказательству Леммы 5.4, но соглашусь с Вами, что для простоты изложения было бы уместней сделать это наблюдение частью доказательства самой леммы.

[bors]

Или в общем случае это следует из того факта, что группа обратимых элементов циклическая. Доказывается примерно как написал rus4. Эта теорема доказывается в учебнике?

[dspc55]

Ничего такого пока не было в книге (это начальные главы). Вы не могли бы в двух словах набросать, в общих чертах, хотя бы? Подробности не обязательно, я сам потом поищу. Спасибо, что откликнулись на призыв о помощи.

[bors]

Существует элемент порядка n = размер поля - 1. (n=12k, для какого-то k) Все ненулевые элементы - это степени этого элемента назовем его b. Предположим, ord (b^i) = n / gcd (i,n) = 12 = n/k. => gcd(i,n) = k. gcd(i,12k) = k => i = km и gcd(m,12)=1.

Но если не владеть понятием группы, то в предыдущих комментариях должно быть понятней написано.