Теория конечных полей. Самые основы.
Буду очень благодарен за помощь. Ответить на мой вопрос матеметику будет, полагаю, не сложно, но, возможно, хлопотно, приношу заранее извинения. Я инженер, не математик. Читаю сейчас "Finite Fields for Computer Scientists and Engineers. McEliece" (есть, например, в либгене). Застрял на одном месте, в котором хотелось бы разобраться с вашей, форумчане, помощью.
Автор доказывает для конечных полей такую лемму (стр. 32-33 Lemma 5.4): Если
, то
, где
- порядок элемента
Из этой леммы следует, что, если некий элемент
конечного поля
имеет порядок
, то для натуральных
взаимно простых с
, элемент
тоже будет иметь порядок
. Далее, автор рассматривает для иллюстрации сказанного наглядный пример (стр. 33 Example 5.2), когда
имеет порядок 12, из чего заключает, что элементы
,
,
тоже имеют порядок 12. Пока всё понятно. Непонятно мне такое утверждение в этом примере: «Given only the fact that there exists at least one element of order 12 in F, it follows that there are exactly 4 elements of order 12 ».
Откуда следует, что “exactly 4”!? Откуда уверенность, что нет других (ещё четырех) элементов порядка 12? Ведь, все предыдущие рассуждения показывают истинность только такого утверждения (сформулированно мною): «Given only the fact that there exists at least one element of order 12 in F, it follows that there are at least 4 elements of order 12 », а именно:
и
,
,
.
Трудно предположить, что это ошибка в уважаемой книге. Скорее всего я не понял чего-то в прочитанном, хотя уж раз 5 перечитал. От этого непонятного мне утверждения можно было бы отмахнуться, но автор использует его при доказательстве значимых теорем далее. Что же я не так понял?
P.S.
Возможно моё вырванное из книги изложение не очень понятно. Буду признателен, если тот, кто возмётся ответить скачает книгу. Так было бы легче понимать друг друга.
Автор доказывает для конечных полей такую лемму (стр. 32-33 Lemma 5.4): Если
, то
, где
- порядок элемента
Из этой леммы следует, что, если некий элемент
конечного поля
имеет порядок
, то для натуральных
взаимно простых с
, элемент
тоже будет иметь порядок
. Далее, автор рассматривает для иллюстрации сказанного наглядный пример (стр. 33 Example 5.2), когда
имеет порядок 12, из чего заключает, что элементы
,
,
тоже имеют порядок 12. Пока всё понятно. Непонятно мне такое утверждение в этом примере: «Given only the fact that there exists at least one element of order 12 in F, it follows that there are exactly 4 elements of order 12 ».
Откуда следует, что “exactly 4”!? Откуда уверенность, что нет других (ещё четырех) элементов порядка 12? Ведь, все предыдущие рассуждения показывают истинность только такого утверждения (сформулированно мною): «Given only the fact that there exists at least one element of order 12 in F, it follows that there are at least 4 elements of order 12 », а именно:
и
,
,
.
Трудно предположить, что это ошибка в уважаемой книге. Скорее всего я не понял чего-то в прочитанном, хотя уж раз 5 перечитал. От этого непонятного мне утверждения можно было бы отмахнуться, но автор использует его при доказательстве значимых теорем далее. Что же я не так понял?
P.S.
Возможно моё вырванное из книги изложение не очень понятно. Буду признателен, если тот, кто возмётся ответить скачает книгу. Так было бы легче понимать друг друга.