2*2=4, или Аксиомы арифметики

[realcorwin]

Все знают, что 2*2=4, а вот доказать это могут немногие. Один из таких людей - мой дорогой френд falcao поделится с нами этим доказательством, а заодно и расскажет об аксиомах арифметики. Дадим ему слово:"Этот текст -- популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем

Comments

[faceted_jacinth]

В прекраснейшей книжке Goedrel, Esher, Bach: Eternal Golden Braid оное доказательство излагается более кратко, причём в процессе указываются его слабые места (например, сама математическая индукция). Если вы соблаговолите дать мне свой адрес электрической почты (удалённым комментом, если паранойа гложет Вас так же как и меня), то я смогу выслать Вам вышеупомянутую книгу в говноформате djvu.

[realcorwin]

Спасибо, но у меня она есть на русском языке.

[a_bugaev]

Спасибо, хорошо изложено.

Я думаю, для внимательного читателя очевидна некоторая сложность с формулировкой аксиомы (А5). Эта аксиома утверждает, что «до любого числа можно досчитать», то есть, что до любого n можно дойти от 1 за конечное количество шагов (это значит что n = 1''…', где количество штрихов конечно). Но проблема в том, что невозможно определить, что такое конечное количество шагов, не опираясь при этом на понятие натурального числа. А опираться-то как раз и нельзя, ведь мы как раз пытаемся определить натуральные числа. Возникает проблема, из которой по существу нет хорошего выхода. Формулировка Пеано не является хорошим выходом, ведь в ней используются какие-то неизвестно откуда взявшиеся «свойства» (говоря строго - элементы из множества одноместных предикатов над множеством натуральных чисел). А совсем обойтись без аксиомы индукции нельзя, иначе возникают т.н. нестандартные модели натурального ряда, в которых, конечно, 2*2 по прежнему равно 4, но зато есть бесконечно большие числа (те самые, до которых «нельзя

[realcorwin]

Спасибо, обязательно прочту.

О философии математики вот тут был небольшой, но любопытный разговор:

http://realcorwin.livejournal.com/26119.html

[vianega]

потрясающе!! спасибо!!

[jst_ru]

Относительность знаний - великая вещь. Утверждение " 2 плюс 2 равно 13" относительно ближе к истине, чем " 2 плюс 2 равно 41". Можно даже сказать, что переход к первому от второго есть проявление творческой зрелости, научного мужества и неслыханный прогресс науки - если не знать, что 2 плюс 2 равно четырем.
В арифметике мы это знаем, но ликовать рано. Например, в физике 2 плюс 2 оказывается меньше четырех - на деффект массы. А в таких тонких науках, как социология или этика, - так там не то что 2 плюс 2, но даже 1 плюс 1 - это то ли будущая семья, то ли сговор с целью ограбления банка.
К. Прутков- инженер, мысль No 5
----
Владимир Савченко, Открытие себя.

[_koltsov]

Я все не читал по простой причине: у нас в Вузе эти аксиомы преподавались на курсах математик (их было много, сейчас не вспомню, какая именно).
Теоремы по существованию произведения двух натуральных чисел и что произведение только одно, правила сложения и вычитания, декартового произведения множеств.

Учителя начальных классов.