2*2=4, или Аксиомы арифметики
Все знают, что 2*2=4, а вот доказать это могут немногие. Один из таких людей - мой дорогой френд falcao поделится с нами этим доказательством, а заодно и расскажет об аксиомах арифметики. Дадим ему слово:"Этот текст -- популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем
( Read more... )
Я думаю, для внимательного читателя очевидна некоторая сложность с формулировкой аксиомы (А5). Эта аксиома утверждает, что «до любого числа можно досчитать», то есть, что до любого n можно дойти от 1 за конечное количество шагов (это значит что n = 1''…', где количество штрихов конечно). Но проблема в том, что невозможно определить, что такое конечное количество шагов, не опираясь при этом на понятие натурального числа. А опираться-то как раз и нельзя, ведь мы как раз пытаемся определить натуральные числа. Возникает проблема, из которой по существу нет хорошего выхода. Формулировка Пеано не является хорошим выходом, ведь в ней используются какие-то неизвестно откуда взявшиеся «свойства» (говоря строго - элементы из множества одноместных предикатов над множеством натуральных чисел). А совсем обойтись без аксиомы индукции нельзя, иначе возникают т.н. нестандартные модели натурального ряда, в которых, конечно, 2*2 по прежнему равно 4, но зато есть бесконечно большие числа (те самые, до которых «нельзя досчитать»).
Тем, кто заинтересовался проблемой аксиоматики натуральных чисел (а также вопросами построения определений, доказательств и обоснований) рекомендую статью В.А.Успенского "Семь размышлений на темы философии математики". Вот эти 7 тем:
1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?
2. Можно ли определить понятие натурального числа?
3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)?
4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?
5. Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?
6. Что такое доказательство?
7. Можно ли математику сделать понятной?
(замечу, что статья была опубликована в 1987 году, когда теорему Ферма еще не доказали).
Reply
О философии математики вот тут был небольшой, но любопытный разговор:
http://realcorwin.livejournal.com/26119.html
Reply
Leave a comment