2*2=4, или Аксиомы арифметики

[realcorwin]

Все знают, что 2*2=4, а вот доказать это могут немногие. Один из таких людей - мой дорогой френд falcao поделится с нами этим доказательством, а заодно и расскажет об аксиомах арифметики. Дадим ему слово:"Этот текст -- популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем

Comments

[eriun]

2*2=4 - это ещё в "Principia mathematica" доказывалось.А пост очень хороший. Спасибо.

[realcorwin]

*переадресовывает "спасибо" Falcao* :)

[remi_jakovlevic]

И от меня (нематематика) спасибо вам обоим. Вот только не понял, как быть с раскрытием скобок:
мы здесь не пользовались законом раскрытия скобок (он у нас не доказан), а лишь следовали нашей надежде, что он будет выполняться.
В доказательстве теоремы 2*2=4 есть такое равенство:
2*1+2 = 2+2
в то время как ничто вроде не мешает нам (знающим определения S1 и S2) сделать и так:
2*1+2 = 2*(1+1)' = 2 * 2' = etc.
Или я читал недостаточно внимательно?

[grandmag]

Нет
2*1+2 = 2*(1+1)'
не следует из S1 и S2

[remi_jakovlevic]

Верю, но мне почему-то показалось, что на данном этапе сложение 1+2 столь же доступно, как и умножение 2*1, так что вопрос о скобках в выражении 2*1+2 должен возникнуть. Если же я неправ, то вопрос действительно отпадает.
Извините за наивность, для меня это все давно забытые вопросы 20-летней давности (точнее 25-летней), к которым - увы - не приходилось возвращаться...

[realcorwin]

А сколько будет 2*2'? :)

[grandmag]

Хороший пример относительности доказательств. Например, бухгалтеру такое доказательство совершенно не интересно, хотя вся бухгалтерия суть арифметика :-)

[schisma]

Спасибо, что перепостили, весьма занятно. :))

[faceted_jacinth]

На самом деле всё проще. Но сложнее, если хочется понять, правильно ли мы их определили.

Я к тому, что если взять систему правил, действующих над строками вида "----...---P---...---Q---...---" (где троеточие обозначает последовательность "-" произвольной длины), то то, что мы понимаем под сложением, описывается одной аксиомой
"PQ"
и следующими правилами вывода:
"xPyQz" => "x-PyQz-"
"xPyQz" => "xPy-Qz-", где x, y, z обозначают произвольные последовательности "-". Причём P может быть интерпретировано как Plus, а Q - как eQuals.

Для умножения писать влом, но можно.

Если Вы пройдёте по ссылке http://realcorwin.livejournal.com/120988.html?thread=2620060#t2620060 и вышлете что нужно, то, типа.

[schisma]

Спасибо за предложение, но математика (так сложилось исторически) не входит в число моих хобби, и в данном случае для меня лично ценен не наиболее изящный способ доказательства, что 2*2=4, а принципиальный пример доказательства того, что кажется очевидным.

[faceted_jacinth]

Этот пример is flawed, потому что так есть.

Именно поэтому я всем рекомендую Правильную Книжку, в которой наиболее очевидные дырки указаны, и указаны так же способы их принять.

Принципиальный пример и я привёл, согласитесь, он короче.

[_glav_]

спасибо!