Наткнулся у
just_meller на задачку
о собаках в квадрате Суть такова: Четыре собаки находятся в углах квадрата. Каждая из собак начинает
преследовать другую собаку, расположенную от нее по ходу часовой стрелки. Все собаки бегут
с одинаковой скоростью, причем они постоянно меняют направление своего движения так,
чтобы преследовать строго по прямой ту собаку, за которой гонятся. Сколько времени пройдет,
пока собаки поймают друг друга? Где это произойдет?
Уже простые соображения симметрии задачи приводят к выводу о том, что собаки сойдутся в центре. Возникает вопрос о времени, ведь спираль может сворачиваться в окрестностях нуля до бесконечности, как, например,
логарифмическая спираль.
Начал я, естественно, с дифференциальных уравнений и спустя какое-то время зашёл с ними в тупик. Потом думал перейти из декартовой в полярную систему координат, пока не решил исследовать зависимость длины ребра квадрата, образуемого собаками в любой момент времени. Тут меня и осенило! Ведь направление движения смежных собак в силу симметрии задачи всегда перпендикулярно, а значит, расстояние между ними сокращается с постоянной скоростью, равной скорости каждой из собак. Время, через которое собаки встретятся, равно отношению длины ребра квадрата к скорости собак. Как всё просто :) А для тех кто "многа букаф ни асилил" прикладываю кликабельную картинку.
На ней вымученные ранее дифуры, решённые численно простейшим методом Эйлера (посколько вопрос о точности решения не стоит). Для большей наглядности через равные промежутки времени через собак строились квадраты.