Краткая форма опровержения доказательств Кантора

[lex_kravetski]

Если не вдаваться в детали, для доказательства того, что вещественные числа нельзя занумеровать натуральными, Кантор для любого произвольного предполагаемого способа нумерации вещественных чисел даёт алгоритм построения некоторого «числа», которого не может быть среди занумерованных

Comments

[eldies]

> С этого момента у нас остаётся всего три возможных варианта

Четвертый вариант:
На самом деле, текст, которым описан твой способ нумерации вещественных чисел только показался осмысленным - он не имеет смысла и никакого способа нумерации вещественных чисел не определяет.

> Либо минимум одна из принятых предпосылок приводит к противоречию.

И эта предпосылка - что в "множество определений" будет включен результат какого-то преобразования этого самого "множества определений".
Твоё "множество определений" определено рекурсивно.
Со времен парадокса Рассела, в теории множеств так делать нельзя, именно потому, что это приводит к противоречиям.

[lex_kravetski]

> На самом деле, текст, которым описан твой способ нумерации вещественных чисел только показался осмысленным - он не имеет смысла и никакого способа нумерации вещественных чисел не определяет

[eldies]

> Это смелое предположение, в отличие от описанного в статье, основано ни на чём.

Напротив, оно основано на том, что твоё "множество определений" - рекурсивно определено.

> Если говорится «у нас получилось число», а до того говорится «мы его строим вот так-то», то этот текст должен быть определением числа, то есть присутствовать во множестве всех определений.

Если множество всех определений включает определение "КакоетоПреобразование(множество всех определений)" - то это множество рекурсивно определено, а значит философия, противоречащая математике.

> В парадоксе Рассела определялось множество, которое невозможно построить.

Ну так у тебя и есть множество которое невозможно построить - множество всех определений.

[lex_kravetski]

> Напротив, оно основано на том, что твоё определение - рекурсивно.

А словарь, часом, не рекурсивен? А то ведь в нём тоже некие слова сопоставлены значениям этих слов.

> Если множество всех определений включает определение "КакоетоПреобразование(множество всех определений)" - то это множество рекурсивно определено, а значит философия, противоречащая математике.

> Ну так у тебя и есть множество которое невозможно построить - множество всех определений.

В способе «нумерации» нет никаких «преобразований множеств». И даже рекурсии в нём нет, поскольку рассматриваются только определения чисел, а множество всех определений числом очевидно не является, а потому во множество всех определений чисел не входит.

[karpion]

Ваши тексты с определениями - составляют конечное множество. Поэтому они никак не могут опровергнуть высказывания о бесконечных множествах - счётном и континуальном.

[dobriy24]

Определений бесконечно. Например, мы определили число 1, а после добавляем к нему единицы. Тогда множество {1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1+1+1, ...} бесконечно (мы можем определить все натуральные числа), а это подмножество нашего множества определений.

[lex_kravetski]

> Ваши тексты с определениями - составляют конечное множество.

Множество конечных текстов таки бесконечно. Потому что в ином случае оказалось бы конечным множество натуральных чисел.

При этом проиллюстрировать бесконечность можно очевидным примером.

Текст «1 + 1» определяет число.
Текст «1 + 1 + 1» определяет число.
Текст «1 + 1 + 1 + 1» определяет число.

Вы же не думаете, что в какой-то момент будет невозможно продолжать построение текстов по этому шаблону?

[eldies]

Краткая форма опровержения доказательства того, что натуральных чисел бесконечно много

[lex_kravetski]

Это всё было бы зашибись, если бы я предполагал, что у нас есть завершимый бесконечный процесс. Однако я такого не полагаю. Более того, я утверждаю, что «бесконечно много» может означать исключительно «сколько бы элементов мы ни сгенерировали, можно сгенерировать ещё один, ранее не встречавшийся», а остальные варианты трактовки «бесконечно много» противоречивы.

И, разумеется, я не считаю, что возможен список натуральных чисел - возможен только бесконечный генератор каждого следующего, ещё не встречавшегося числа.

Поэтому, ясен хер, max(list) + 1 на бесконечном генераторе никогда не завершит свою работу и ничего про «конечность» не докажет.

[eldies]

> И, разумеется, я не считаю, что возможен список натуральных чисел - возможен только бесконечный генератор каждого следующего,

Поскольку ты, очевидно, не прочитал мой комментарий, сообщаю:
Там написано о конечных списках натуральных чисел.

> max(list) + 1 на бесконечном генераторе

Откуда ты взял бесконечный генератор? я вызываю max(list) на списке из трех элементов.

[lex_kravetski]

> Там написано о конечных списках натуральных чисел.

Список элементов конечен, однако первое же вычисление его первого элемента - бесконечно.

> я вызываю max(list) на списке из трех элементов.

Попытка вычисления первого элемента никогда не закончит работу. Поэтому у данного списка попросту нет первого элемента - вместо него там запуск бесконечного рекурсивного вычисления.

> Откуда ты взял бесконечный генератор?

Бесконечность множества натуральных чисел означает то, что его элементы генерируются бесконечным генератором. И да, такая функция, безусловно, никогда не закончит работу на таком генераторе и никакого числа тоже не вернёт, поэтому в случае с натуральными числами в такой трактовке «бесконечности» никаких противоречий найти не удастся.

[ichthuss]

Мнжно написать еще короче: "наименьшее из натуральных чисел, которое нельзя определить текстом на русском языке длиной не более 120 символов". С этим определением ровно та же проблема, что и с твоим "канторовским числом", только безо всякого Кантора. Проблема не в Канторе, а в естественном языке - он недостаточно формален, чтобы подобные высказывания могли сойти за математически строгий предикат.

[lex_kravetski]

У меня нет предположения о том, что для всего, что кто-то сочтёт «определением», обязательно может быть построено число.

У меня обратный процесс: для каждого числа, проверяется, есть ли у него определение, и если есть, именно им нумеруется это число.

[ichthuss]

Так с точки зрения математики разницы нет, это один и тот же процесс. Ну то есть если писать программу - то процессы "перебрать все определения и выбрать числа" и "перебрать все числа и найти определения" - разные подходы к решению. Но в математических терминах и то, и другое - означают "выбрать подмножество декартова произведения "определения x числа" в соответствии с некоторым критерием

[lex_kravetski]

> Так с точки зрения математики разницы нет, это один и тот же процесс

[bober_maniac]

По алгоритму строятся рациональные числа и некоторые иррациональные. Множество действительных чисел содержит еще иррациональные числа с бесконечным числом знаков после запятой, для которых нет алгоритма построения.

[lex_kravetski]

> По алгоритму строятся рациональные числа и некоторые иррациональные. Множество действительных чисел содержит еще иррациональные числа с бесконечным числом знаков после запятой, для которых нет алгоритма построения.

На данное опровержение это никак не влияет. Признавать «существующим» нечто, у чего в принципе нет определения, включая алгоритм построения или определение через «является ответом некоторой задачи», да и вообще никак не может быть обнаружено, уже очень странно, поскольку слово «существует» после этого перестаёт означать что-либо осмысленное, однако для опровержения достаточно того, что конкретно Канторовское число не может иметь определения по своему построению, а следовательно не может иметь и алгоритма построения.

[bober_maniac]

Признать существующим нечто, у чего нет определения, невероятно просто. В нашем мире куча существующих вещей, у которых точного и конечного определения нет.

Например вот у этого милого тупика.

[lex_kravetski]

Тут речь не идёт об «определить полностью», речь идёт об «определить хоть как-то, чтобы иметь возможность это опознать». Вы, например, мне сейчас каким-то образом сумели сказать, про какого именно тупика идёт речь, хотя утверждали, что у него определения быть не может.