Вопрос корректен и так. Их поровну,поскольку между ними существует биекция - и тех и других счетное число.
Но можно придать ему другую форму, воспользовавшись идеями Шнирельмана о плотности. Как мы знаем, среди чисел от 1 до n примерно n/2 четных (предельная плотность 1/2) и примерно n/ln(n) простых (предельная плотность 0). В этом смысле четных больше.
Так что все зависит от того, в каких целях планируется использовать ответ.
Как давно все это было, давным-давноmikluha_maklaiJuly 31 2008, 08:49:28 UTC
1. Мощности этих двух счетных множеств равны. 2. Доказательство (схематически). 2.1. Множество простых чисел бесконечно (доказательство тривиально). Множество четных чисел бесконечно (еще тривиальнее). 2.2. Занумеруем простые числа в порядку возрастания, так что i-е простое число - P[i]. Установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством простых чисел и множеством натуральных чисел. 2.3. Занумеруем четные числа так, что четному положительному числу 2N сответствует натуральное число 2N, а отрицательному четному числу -2N соответствует натуральное число 2N+1. Установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством четных чисел и множеством натуральных чисел. 2.4. ЧТД.
Re: Как давно все это было, давным-давноmikluha_maklaiJuly 31 2008, 09:15:10 UTC
1. Берем очередное натуральное число. 2. Проверяем, простое ли оно (используя, например, "решето Эратосфена"). 3. Если он простое, присваиваем ему очередной номер. Ситуация абсолютно та же, что и с нумерацией, скажем, положительных четных чисел.
Re[2]: Как давно все это было, давным-давноlex_kravetskiJuly 31 2008, 10:31:11 UTC
> 1. Берем очередное натуральное число. 2. Проверяем, простое ли оно (используя, например, > "решето Эратосфена"). 3. Если он простое, присваиваем ему очередной номер. Ситуация > абсолютно та же, что и с нумерацией, скажем, положительных четных чисел.
Из этого всё равно не следует, что пронумеровать можно их все. Иначе, например, можно рассудить так:
Берём наугад действительное число. Присваиваем ему очередной натуральный номер из незанятых. Заносим число в таблицу уже пронумерованных. Берём следующее, проверяем, есть ли оно в таблице, если нет, то присваиваем ему очередной номер. И так далее, пока не переберём все действительные числа.
оно конечно кажется что чётных больше, но когда дело имеешь с бесконечно большими/малыми величинами, получаешь аналог Зеноновского парадокса с Ахиллесом и Черепахой:)
По определению Больцано, "любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своим собственным подмножеством". значит простые числа как подмножество нечетных чисел им равнозначны - ведь оба множества бесконечны. Поскольку четных столько же, сколько нечетных, следовательно множество простых чисел равнозначно множеству четных. Но. У четных чисел есть еще простое число "2" Поэтому простых чисел больше! :))))
Вообще-то тут не сказано, что четные - это обязательно натуральные. А вот множество действительных чисел будет помощнее множества натуральных, ergo - и простых. Вопрос вполне корректен, но с подвохом - если имеются в виду лишь рациональные числа, то мнощества равномощны.
Я, конечно, теорию чисел не изучал, но с чего это натуральные числа не являются подмножеством рациональных, и оба они - действительных? Смотримна определения, таки да. И почему это четное число - только натуральное?
Comments 140
Но можно придать ему другую форму, воспользовавшись идеями Шнирельмана о плотности. Как мы знаем, среди чисел от 1 до n примерно n/2 четных (предельная плотность 1/2) и примерно n/ln(n) простых (предельная плотность 0). В этом смысле четных больше.
Так что все зависит от того, в каких целях планируется использовать ответ.
Reply
Reply
Reply
проблемы.
Reply
2. Доказательство (схематически).
2.1. Множество простых чисел бесконечно (доказательство тривиально). Множество четных чисел бесконечно (еще тривиальнее).
2.2. Занумеруем простые числа в порядку возрастания, так что i-е простое число - P[i]. Установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством простых чисел и множеством натуральных чисел.
2.3. Занумеруем четные числа так, что четному положительному числу 2N сответствует натуральное число 2N, а отрицательному четному числу -2N соответствует натуральное число 2N+1. Установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством четных чисел и множеством натуральных чисел.
2.4. ЧТД.
Reply
Reply
2. Проверяем, простое ли оно (используя, например, "решето Эратосфена").
3. Если он простое, присваиваем ему очередной номер.
Ситуация абсолютно та же, что и с нумерацией, скажем, положительных четных чисел.
Reply
> "решето Эратосфена"). 3. Если он простое, присваиваем ему очередной номер. Ситуация
> абсолютно та же, что и с нумерацией, скажем, положительных четных чисел.
Из этого всё равно не следует, что пронумеровать можно их все. Иначе, например, можно
рассудить так:
Берём наугад действительное число. Присваиваем ему очередной натуральный номер из
незанятых. Заносим число в таблицу уже пронумерованных. Берём следующее, проверяем, есть
ли оно в таблице, если нет, то присваиваем ему очередной номер. И так далее, пока не
переберём все действительные числа.
Reply
Reply
Reply
По определению Больцано, "любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своим собственным подмножеством". значит простые числа как подмножество нечетных чисел им равнозначны - ведь оба множества бесконечны. Поскольку четных столько же, сколько нечетных, следовательно множество простых чисел равнозначно множеству четных. Но. У четных чисел есть еще простое число "2"
Поэтому простых чисел больше!
:))))
Reply
да? Точки на числовой прямой приводятся во взаимно однозначное соответствие с рациональными точками? ;)
Reply
Reply
Reply
Вопрос вполне корректен, но с подвохом - если имеются в виду лишь рациональные числа, то мнощества равномощны.
прим.: это если меня склероз не подводит.
Reply
(The comment has been removed)
И почему это четное число - только натуральное?
Reply
(The comment has been removed)
Leave a comment