Математические высказывания можно проверить. Например, Теорема Пифагора -- математический факт, но его можно тривиально проверить геометрически. Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере. Если есть формула решения уравнения -- можно подставить решение в исходное уравнение, и проверить, что уравнение выполняется и т.д. Математика доказывает, что невозможно построить правильный семиугольник при помощи циркуля и линейки или решить уравнение 5й степени в радикалах -- и да, никому это не удалось. То есть математические факты вполне согласуются с эмпирическим опытом.
Проблема доверия -- не столько в аксиоматике, сколько в методе. Математики "верят" в то, что математический метод правилен. Было время, когда это подвергалось сомнениям, и тогда была разработана формальная математическая логика и теория доказательств.
Да, когда гипотеза доказана, ее уже нельзя опровергнуть. Но пока она не доказана, это именно что гипотеза. Такая же, как и то что динозавры вымерли от астероида. Дальше можно продолжать этот разговор, в том русле, что гипотеза о динозаврах не является 100% доказуемой, в отличие от гипотезы 4 красках. Но это будут риторические споры, о чем уже говорил хозяин журнала.
Проблема же поставлена об отличие математики от естественных наук! Так вот, когда в математике логически(!) "гипотеза доказана, ее уже нельзя опровергнуть" (ваши слова). Точка. А вот в естественных науках любое предсказание теории потенциально (эмпирически) может быть опровергнуто. Тут существенное отличие: математическое доказательство (если оно логически корректно) абсолютно, а в естественных науках оно требует эмпирического подтверждения. Так мало того, еще может быть опровергнуто последующими более точными экспериментами. Будете возражать? :))
Тут у вашего оппонента попперовские заходы. Научная теория (совершенно любая) должна допускать возможность опровержения и в этом смысле никогда не доказана окончательно и бесповоротно. Доказанная математическое суждение возможности опровержения не допускает, она в своей области определения доказана отныне т присно и во веки веков.
Разговор начинался с того является ли математика наукой если пользоваться попперовскими критериями. Я думаю - да. Выдвигаются гипотезы (4х красок, Ферма итд), которые доказываются или опровергаются. После того как гипотеза доказана - она доказана навсегда. После чего она перестает быть гипотезой и становится истинным или ложным утверждением, которое в каком-то смысле равносильно аксиомам.
Тут вы подменили проблему. Процедура верификации/фальсификации может быть применена только к логически истинным высказываниям, то есть суждениям некоторой теории. В науке на основе гипотезы строится логическая (математическая) теория, которая предлагает проверяемые предсказания - и они-то подвергаются проверке. Так вот если перед нами еще только математическая гипотеза, то она еще (по определению) не имеет статус логически истинной - она еще не доказана, а следовательно и вопрос о ее проверке бессмыслен. В таком виде она вообще не имеет статуса математического суждения (как и гипотеза в науке не имеет статуса научного суждения). А как только математическая гипотеза будет доказана, то никакой дополнительной процедуры ее подтверждения уже не требуется
( ... )
Повторю, процедура фальсификации (как и верификации) относятся к теориям, к их логически истинным предсказаниям, а не к гипотезам.
Посмотрите http://en.wikipedia.org/wiki/Falsifiability Popper concluded that a hypothesis, proposition, or theory is "scientific" only if it is, among other things, falsifiable.
По большому, счету если быть точным, то цитируемая вами моя мысль верна. Тут наблюдается терминологическая проблема с неоднозначностью использования слова "гипотеза". Говоря о проверке "гипотезы" (см. "Логика и рост научного знания") Поппер подразумевал гипотетические суждения о поведении предмета исследования, то есть по сути предсказания научной теории (гипотеза: «Всякая нить, нагруженная выше своего предела
( ... )
Я бы ещё к этому добавил, что во-первых в математике есть концепции совершенно не сопрягаемые ни с каким эмпирическим опытом (n-мерные пространства запросто, да если надо можно и бесконечномерные замутить), а во-вторых на меня в мятежной юности произвело большое впечатление лемма о существовании неконструктивного объекта. Доказали что он есть, а показать не можем.
Вы чересчур эмоциональны. Я привел достаточно строгое рассуждение, по сути завершающееся пунктом 5:
"Это обобщение эмпирического опыта 2х- 3х- мерных пространств, сделанное при помощи эмпирического математического метода."
То есть экспериментально проверяются простые случаи и метод индукции. Отсюда делается вывод о верности для любого N. Большинство экспериментов современной физики тоже основаны на том, что непосредственно наблюдают одно (например, след или энергию частицы), а делают вывод о совсем другом явлении, связанном строгой связью.
>Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере. Проверять утверждение о конечности (или бесконености) множества простых чисел вы будете всю ближайшую вечность. :-) Утверждения теории чисел на бесконечном ряду доказываются.
Математические высказывания можно проверить. Например, Теорема Пифагора -- математический факт, но его можно тривиально проверить геометрически. Любые утверждения из теории чисел проверяются на компьютере. Если есть формула решения уравнения -- можно подставить решение в исходное уравнение, и проверить, что уравнение выполняется и т.д. Математика доказывает, что невозможно построить правильный семиугольник при помощи циркуля и линейки или решить уравнение 5й степени в радикалах -- и да, никому это не удалось. То есть математические факты вполне согласуются с эмпирическим опытом.
Проблема доверия -- не столько в аксиоматике, сколько в методе. Математики "верят" в то, что математический метод правилен. Было время, когда это подвергалось сомнениям, и тогда была разработана формальная математическая логика и теория доказательств.
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Посмотрите http://en.wikipedia.org/wiki/Falsifiability
Popper concluded that a hypothesis, proposition, or theory is "scientific" only if it is, among other things, falsifiable.
Там есть раздел и о математике
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
(The comment has been removed)
"Это обобщение эмпирического опыта 2х- 3х- мерных пространств, сделанное при помощи эмпирического математического метода."
То есть экспериментально проверяются простые случаи и метод индукции. Отсюда делается вывод о верности для любого N. Большинство экспериментов современной физики тоже основаны на том, что непосредственно наблюдают одно (например, след или энергию частицы), а делают вывод о совсем другом явлении, связанном строгой связью.
Reply
Проверять утверждение о конечности (или бесконености) множества простых чисел вы будете всю ближайшую вечность. :-) Утверждения теории чисел на бесконечном ряду доказываются.
Reply
Leave a comment