Модальная логика
В своё время гейдельбергский медиевист Карл Хампе одарил нас максимой: "Die Geschichte kennt kein Wenn" (история не знает слова "если"). Отечественные мичуринцы её скрестили с фразой "природа не терпит пустоты" и в граните отлилось: "история не терпит сослагательного наклонения". Звучит почти как закон природы.
И действительно, рассуждения на тему какой бы была картина мира если бы Фридрих Барбаросса не утонул на переправе (или если бы Клеопатра уродилась бы с другим носом), при всей их увлекательности имеют мало отношения к науке истории. Жанр этот ближе всего стоит к прогнозам полит.аналитиков, с тем существенным отличием, что прогнозы обычно всё же можно проверить практикой.
Но тем не менее в любом сколь-нибудь нетривиальном историческом тексте вы непременно найдёте минимум два типа неявных сослагательностей: суждения о причинных связях и "алетические" суждения. Про причинность я как-то уже высказывался, выскажусь теперь по второму пункту.
С точки зрения алетической модальности насчитывают три типа суждений: ассерторические, или утверждения о действительности, проблематические, или утверждения о возможности, и аподиктические, - утверждения о необходимости (неизбежности). Слово "возможность" в текстах может заменяться на синомимы типа "альтернатива", "выбор". Аподиктическое утверждение узнаётся по словам "обязательно", "неизбежно", "необходимо", "непременно" и разным другим лингвистическим конструкциям так или иначе сводящих набор возможностей к единственной (например, "не было другого выбора").
Разделение суждений на аподиктические и проблематические несколько искусственно, одно выражается через другое. В формализованном виде, обозначая необходимость через ◻, а возможность через ◇, это можно записать как ◻A≡~◇~A (и наоборот ◇A≡~◻~A). Например, если погода имеет всего два состояния: "ясно" и "гроза", то утверждение "неизбежна гроза" тождественно утверждению "невозможно, что будет ясно". И обратно, утверждение "возможна гроза" тождественно утверждению "необязательно будет ясно". То есть всякое аподиктическое суждение есть просто отрицание проблематического (и vice versa).
Если что-то необходимо, то оно одновременно и возможно. ◻A→◇A. Это очевидно, поскольку необходимость часто описывается как единственная возможность.
Возможность, необходимость и действительность также связаны между собой. "Всё действительное - возможно". Чтобы какой-то факт имел место в действительности, необходимо, чтобы он был возможен. A→◻◇A. "Всё необходимое - действительно". Если что-то было неизбежно, значит оно случилось. ◻A→A.
Вот примерно на таких основаниях (ну, плюс ещё пяток аксиом) и строится формализация модальной логики, как расширение известных формализаций классической логики - логики высказываний и логики предикатов первого порядка.
Исторически, формальная логика для алетической модальности была разработана первой (вроде бы), но оказалась с небольшими вариациями применима и для других модальностей - деонтической ("обязательно", "разрешено", "запрещается"), аксиологической ("хорошо", "плохо"), эпистемической ("знаю") и т.п.
Спустимся ближе к земле. К чему я вообще обо всём об этом говорю? Меня всегда занимал вопрос, как возможно несогласие в выводе, при согласии по фактам и методам. Нет, не упёртость и виляние задницей переход к софистике, уклоняясь от признания своей неправоты, а именно "честное" несогласие.
Для ассерторических суждений такое несогласие почти невозможно. Элементарные суждения сводятся к констатации факта, а по фактам (см. условие) у нас согласье. Комплексные суждения в идеале синтезируются из элементарных. Если возникает несогласие, можно попробовать разобрать их на составные части и поискать где же проблема. По моему опыту, если отбросить упомянутые уже выше переходы к софистике, то чаще всего проблема в том, что кто-нибудь из участников дискуссии в ходе синтеза добавляет в общий котёл свои убеждения, видимо по ошибке приняв их за факты.
Проблематические/аподиктические суждения добавляют тут ещё одно измерение: набор "возможных миров".
"Возможные миры" возникают из необходимости определить какую-то семантику для модальной логике. Если утверждение "возможно A" истинно, то что это значит? Подставим вместо "А" грозу из примера выше. Если у нас за окном гроза, то она уже более чем возможна, она действительна. А если за окном ясно? Значит ли это, что гроза невозможна?
Сол Крипке предложил тут семантику "возможных миров". Допустим у нас есть набор "миров", в каждом из которых по поводу некоего утверждения P мы можем сказать истино оно или ложно. Далее, на этом наборе задано отношение "доступности" R, то есть для каждой пары "миров" (w,v) из нашего набора мы можем сказать доступен v из w или нет. Тогда утверждение "необходимо P" будет истинным в мире w, если P истино в каждом из "миров" доступных из w. А утверждение "возможно P" будет истино, если P истино хотя бы в одном из "миров" доступных из w.
Логика работает с языком, и "мир" здесь - это просто некий набор взаимно непротиворечивых утверждений (и всех выводимых из них). Доступными можно положить те миры, наборы утверждений которых не противоречат друг другу. Такое отношение будет симметричным, рефлексивным, но явно не транзитивным. Этот набор можно несколько нестрого назвать "логически возможными мирами". В том или ином мире этого набора возможно почти всё, что имеет смысл. Рай для писателей-фантастов.
Несколько беднее возможностями набор "физически возможных миров". Наборы утверждений этих миров не должны противоречить неким законам природы. И т.д.
Сужать набор можно бесконечно.
Например, когда сестра говорит маленькому брату, собирающемуся спуститься с лестницы, "ты можешь упасть", её достижимый набор состоит из миров в которых есть она, брат, лестница и видимо в некоторых из них истинно утверждение "на третьей ступеньке он споткнулся". Но брат, спустившись с лестницы, может ответить - "нет, не могу". Его набор состоит из единственного мира, который только что случился.
Думаю, уже понятно какие возможности для "честного" несогласия тут открываются. "Если бы не заключили Пакт Молотова-Риббентропа," - говорит оратор, - "Польша могла бы в союзе с Германией напасть на СССР". И действительно, в среди физически возможных миров наверняка найдутся такие, для которых это утверждение верно. Законам природы тут ничего не противоречит. "Нет, это невозможно," - возражает оппонент. И он тоже прав - среди политически возможных миров, доступных из нашего августа 1939 года, таких в которых это утверждение было бы верно - не сыскать.
Спор продолжается...
◻ ◇
И действительно, рассуждения на тему какой бы была картина мира если бы Фридрих Барбаросса не утонул на переправе (или если бы Клеопатра уродилась бы с другим носом), при всей их увлекательности имеют мало отношения к науке истории. Жанр этот ближе всего стоит к прогнозам полит.аналитиков, с тем существенным отличием, что прогнозы обычно всё же можно проверить практикой.
Но тем не менее в любом сколь-нибудь нетривиальном историческом тексте вы непременно найдёте минимум два типа неявных сослагательностей: суждения о причинных связях и "алетические" суждения. Про причинность я как-то уже высказывался, выскажусь теперь по второму пункту.
С точки зрения алетической модальности насчитывают три типа суждений: ассерторические, или утверждения о действительности, проблематические, или утверждения о возможности, и аподиктические, - утверждения о необходимости (неизбежности). Слово "возможность" в текстах может заменяться на синомимы типа "альтернатива", "выбор". Аподиктическое утверждение узнаётся по словам "обязательно", "неизбежно", "необходимо", "непременно" и разным другим лингвистическим конструкциям так или иначе сводящих набор возможностей к единственной (например, "не было другого выбора").
Разделение суждений на аподиктические и проблематические несколько искусственно, одно выражается через другое. В формализованном виде, обозначая необходимость через ◻, а возможность через ◇, это можно записать как ◻A≡~◇~A (и наоборот ◇A≡~◻~A). Например, если погода имеет всего два состояния: "ясно" и "гроза", то утверждение "неизбежна гроза" тождественно утверждению "невозможно, что будет ясно". И обратно, утверждение "возможна гроза" тождественно утверждению "необязательно будет ясно". То есть всякое аподиктическое суждение есть просто отрицание проблематического (и vice versa).
Если что-то необходимо, то оно одновременно и возможно. ◻A→◇A. Это очевидно, поскольку необходимость часто описывается как единственная возможность.
Возможность, необходимость и действительность также связаны между собой. "Всё действительное - возможно". Чтобы какой-то факт имел место в действительности, необходимо, чтобы он был возможен. A→◻◇A. "Всё необходимое - действительно". Если что-то было неизбежно, значит оно случилось. ◻A→A.
Вот примерно на таких основаниях (ну, плюс ещё пяток аксиом) и строится формализация модальной логики, как расширение известных формализаций классической логики - логики высказываний и логики предикатов первого порядка.
Исторически, формальная логика для алетической модальности была разработана первой (вроде бы), но оказалась с небольшими вариациями применима и для других модальностей - деонтической ("обязательно", "разрешено", "запрещается"), аксиологической ("хорошо", "плохо"), эпистемической ("знаю") и т.п.
Спустимся ближе к земле. К чему я вообще обо всём об этом говорю? Меня всегда занимал вопрос, как возможно несогласие в выводе, при согласии по фактам и методам. Нет, не упёртость и виляние задницей переход к софистике, уклоняясь от признания своей неправоты, а именно "честное" несогласие.
Для ассерторических суждений такое несогласие почти невозможно. Элементарные суждения сводятся к констатации факта, а по фактам (см. условие) у нас согласье. Комплексные суждения в идеале синтезируются из элементарных. Если возникает несогласие, можно попробовать разобрать их на составные части и поискать где же проблема. По моему опыту, если отбросить упомянутые уже выше переходы к софистике, то чаще всего проблема в том, что кто-нибудь из участников дискуссии в ходе синтеза добавляет в общий котёл свои убеждения, видимо по ошибке приняв их за факты.
Проблематические/аподиктические суждения добавляют тут ещё одно измерение: набор "возможных миров".
"Возможные миры" возникают из необходимости определить какую-то семантику для модальной логике. Если утверждение "возможно A" истинно, то что это значит? Подставим вместо "А" грозу из примера выше. Если у нас за окном гроза, то она уже более чем возможна, она действительна. А если за окном ясно? Значит ли это, что гроза невозможна?
Сол Крипке предложил тут семантику "возможных миров". Допустим у нас есть набор "миров", в каждом из которых по поводу некоего утверждения P мы можем сказать истино оно или ложно. Далее, на этом наборе задано отношение "доступности" R, то есть для каждой пары "миров" (w,v) из нашего набора мы можем сказать доступен v из w или нет. Тогда утверждение "необходимо P" будет истинным в мире w, если P истино в каждом из "миров" доступных из w. А утверждение "возможно P" будет истино, если P истино хотя бы в одном из "миров" доступных из w.
Логика работает с языком, и "мир" здесь - это просто некий набор взаимно непротиворечивых утверждений (и всех выводимых из них). Доступными можно положить те миры, наборы утверждений которых не противоречат друг другу. Такое отношение будет симметричным, рефлексивным, но явно не транзитивным. Этот набор можно несколько нестрого назвать "логически возможными мирами". В том или ином мире этого набора возможно почти всё, что имеет смысл. Рай для писателей-фантастов.
Несколько беднее возможностями набор "физически возможных миров". Наборы утверждений этих миров не должны противоречить неким законам природы. И т.д.
Сужать набор можно бесконечно.
Например, когда сестра говорит маленькому брату, собирающемуся спуститься с лестницы, "ты можешь упасть", её достижимый набор состоит из миров в которых есть она, брат, лестница и видимо в некоторых из них истинно утверждение "на третьей ступеньке он споткнулся". Но брат, спустившись с лестницы, может ответить - "нет, не могу". Его набор состоит из единственного мира, который только что случился.
Думаю, уже понятно какие возможности для "честного" несогласия тут открываются. "Если бы не заключили Пакт Молотова-Риббентропа," - говорит оратор, - "Польша могла бы в союзе с Германией напасть на СССР". И действительно, в среди физически возможных миров наверняка найдутся такие, для которых это утверждение верно. Законам природы тут ничего не противоречит. "Нет, это невозможно," - возражает оппонент. И он тоже прав - среди политически возможных миров, доступных из нашего августа 1939 года, таких в которых это утверждение было бы верно - не сыскать.
Спор продолжается...
◻ ◇