Математический расслабон для тяжёлого понедельника.
Январская математическая дискотека марафон вышел на "эшелон полёта", а потому на танцполе в салоне включается медленная, расслабляющая музыка подсветка, которая позволит всем пассажирам мягко войти в ритм "тяжёлого понедельника" (c) народная мудрость. Иначе говоря, сегодня из своих глубоких штанин запасников я достаю три самые простые задачки, некоторые не требуют даже умения умножать. С ними справится и ребёнок. А вы осилите? Условия задачек полностью корректные, и все задачки имеют однозначный ответ и корректное доказательство. Удачи :-)
Задачка-1. В купленном лотерейном билете сумма цифр его шестизначного номера (цифры от 0 до 9) оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, ведь мой сосед без труда решил эту задачу.
Следующая задачка с необычным условием и очень простым решением. Действительно очень простым, особенно когда знаешь ответ :-)
Задачка-2. Возможно ли построить такой многоугольник, перпендикуляр из центра масс на любую сторону которого лежит вне этой стороны.
Например,
Ну и самая простая задачка с самым длинным и накрученным условием.
Задачка-3. Однажды под Новый год администрация ЖЖ сошла с ума и накинула всем блогерам новогодних жетонов. Кому сколько - неизвестно. Кому-то одинаково, кому-то больше или меньше. Делиться информацией о своих халявных жетонах друг с другом блогеры не желают, но им очень любопытно среднее значение - сколько в среднем они получили под Новый год. Как им это сделать?
Ну, удачного вам мозгодумствования!
И вдогонку - ответы на предыдущие задачки.
Задачка-1. Являются ли числа 12345678926 и 12345654321 квадратами?
Ответ-1: нет. 12345678926 чётное, но не делится на 4 - это вам любой калькулятор подтвердит.
Ответ-2: да. 12345654321 = 111111 * 111111.
Задачка-2. Всегда ли такие числа, как ниже являются квадратами?
49
4489
444889
44448889
… ... ... ...
4…48…89 = n четвёрок, n-1 восьмёрок и девятка.
Ответ: да.
Решение: два варианта решений. Методом математической индукции и “в лоб”.
Математическая индукция работает следующим образом. Сначала замечаем, что:
49 = 7²
4489 = 67²
444889 = 667²
Из чего делаем предположение, что:
4…48…89 /* что есть {n четвёрок, n-1 восьмёрок, 9} */ = {n-1 шестёрок, 7}²
Требуется доказать, что это равенство справедливо и для "n+1":
{n шестёрок, 7}^2 = 44…488…89 /* {n+1 четвёрок, n восьмёрок, 9} */
Разворачиваем {n шестёрок, 7} в сумму 66...67 = 60...00 + 6...67 и возводим эту сумму в квадрат… и так далее, там всё немного муторно получается. А подробней про это вот здесь.
"В лоб" методами “боевого математического изврата” (с) получилось вот так:
4[4...4][8...8]9 =
4x102n+1+4x10n+1x(10n-1)/9+8x10x(10n-1)/9+9 =
40x102n+40x10nx(10n-1)/9+80x(10n-1)/9+9 =
1/9 x (360x102n+40x10nx(10n-1)+80x(10n-1)+81) =
1/9 x (360x102n+40x102n-40x10n+80x10n-80+81) =
1/9 x (400x102n+40x10n+1) = 1/9 x (202x102n+2x20x10n+1) =
1/9 x ((20x10n)2+2x(20x10n)+1) = 1/32 x (20x10n+1)2 =
((20x10n+1)/3)2
Подробней об этом рассказано здесь.
Задачка-3. Можно ли число вида 10^(3n+1) представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел?
Ответ: нет.
Решение:
1. Куб натурального числа сравним по модулю 7 либо с 0, либо с ±1.
2. Поэтому сумма двух кубов сравнима с одним из следующих чисел: ±2, ±1, 0 (mod 7) = 0,1,2,5,6 (mod 7).
3. Число 10^(3n+1) = 1000^n * 10 ≡ (-1)^n * 3 (mod 7) = ±3 (mod 7) = 3,4 (mod 7).
Всё.
Однако можно решить и "в лоб" - вот так.
Всё на этом, всем хорошей и удачной недели!
Задачка-1. В купленном лотерейном билете сумма цифр его шестизначного номера (цифры от 0 до 9) оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, ведь мой сосед без труда решил эту задачу.
Следующая задачка с необычным условием и очень простым решением. Действительно очень простым, особенно когда знаешь ответ :-)
Задачка-2. Возможно ли построить такой многоугольник, перпендикуляр из центра масс на любую сторону которого лежит вне этой стороны.
Например,
Ну и самая простая задачка с самым длинным и накрученным условием.
Задачка-3. Однажды под Новый год администрация ЖЖ сошла с ума и накинула всем блогерам новогодних жетонов. Кому сколько - неизвестно. Кому-то одинаково, кому-то больше или меньше. Делиться информацией о своих халявных жетонах друг с другом блогеры не желают, но им очень любопытно среднее значение - сколько в среднем они получили под Новый год. Как им это сделать?
Ну, удачного вам мозгодумствования!
И вдогонку - ответы на предыдущие задачки.
Задачка-1. Являются ли числа 12345678926 и 12345654321 квадратами?
Ответ-1: нет. 12345678926 чётное, но не делится на 4 - это вам любой калькулятор подтвердит.
Ответ-2: да. 12345654321 = 111111 * 111111.
Задачка-2. Всегда ли такие числа, как ниже являются квадратами?
49
4489
444889
44448889
… ... ... ...
4…48…89 = n четвёрок, n-1 восьмёрок и девятка.
Ответ: да.
Решение: два варианта решений. Методом математической индукции и “в лоб”.
Математическая индукция работает следующим образом. Сначала замечаем, что:
49 = 7²
4489 = 67²
444889 = 667²
Из чего делаем предположение, что:
4…48…89 /* что есть {n четвёрок, n-1 восьмёрок, 9} */ = {n-1 шестёрок, 7}²
Требуется доказать, что это равенство справедливо и для "n+1":
{n шестёрок, 7}^2 = 44…488…89 /* {n+1 четвёрок, n восьмёрок, 9} */
Разворачиваем {n шестёрок, 7} в сумму 66...67 = 60...00 + 6...67 и возводим эту сумму в квадрат… и так далее, там всё немного муторно получается. А подробней про это вот здесь.
"В лоб" методами “боевого математического изврата” (с) получилось вот так:
4[4...4][8...8]9 =
4x102n+1+4x10n+1x(10n-1)/9+8x10x(10n-1)/9+9 =
40x102n+40x10nx(10n-1)/9+80x(10n-1)/9+9 =
1/9 x (360x102n+40x10nx(10n-1)+80x(10n-1)+81) =
1/9 x (360x102n+40x102n-40x10n+80x10n-80+81) =
1/9 x (400x102n+40x10n+1) = 1/9 x (202x102n+2x20x10n+1) =
1/9 x ((20x10n)2+2x(20x10n)+1) = 1/32 x (20x10n+1)2 =
((20x10n+1)/3)2
Подробней об этом рассказано здесь.
Задачка-3. Можно ли число вида 10^(3n+1) представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел?
Ответ: нет.
Решение:
1. Куб натурального числа сравним по модулю 7 либо с 0, либо с ±1.
2. Поэтому сумма двух кубов сравнима с одним из следующих чисел: ±2, ±1, 0 (mod 7) = 0,1,2,5,6 (mod 7).
3. Число 10^(3n+1) = 1000^n * 10 ≡ (-1)^n * 3 (mod 7) = ±3 (mod 7) = 3,4 (mod 7).
Всё.
Однако можно решить и "в лоб" - вот так.
Всё на этом, всем хорошей и удачной недели!