Теория групп

[cxielamiko]

В. Б. Алексеев, «Теорема Абеля в задачах и решениях», с. 23, № 23 1):
Доказать, что в произвольной группе (ab)-1=b-1a-1.
В решениях автор расписывает, что (ab)∙(b-1a-1) = e и что (b-1a-1)∙(ab) = e. А разве при доказательстве обязательно надо рассматривать оба случая?

Comments

[kuligin]

Естественно. Бывают и некоммутативные группы, в которых ab может быть не равно ba для некоторых a, b. То есть если ab чему-то равно, то вовсе не обязательно, что ba равно тому же самому.

[jonah3]

Но если ab=e то и ba=e (e -- как и в посте -- единичный элемент).

[jonah3]

Но сам по себе этот факт, конечно, нужно доказать. Так что Алексеев прав.

[cxielamiko]

Это я понимаю. Однако мне казалось, что если ab = e, то такая пара всегда коммутирующая. Это так или можно сконструировать группы-контрпримеры?