автомобиль и коза, пост 1, по существу

[bgmt]

В прошлое воскресенье появилось несколько постов на тему вероятностной задачки, известной как "проблема Монти Холла": http://object.livejournal.com/1170003.html, затем "компьютерный эксперимент" тоже у object 'а в http://object.livejournal.com/ ( Read more... )

Comments

[kdv2005]

Ну, наверное, никакой теории вероятностей на конечных множествах просто не бывает, есть одна комбинаторика, но такая точка зрения быстро становится неудобной, поскольку у комбинаторики все же свои задачи и интересы, но четко разграничить, где кончается комбинаторика и начинается теория вероятностей, нельзя. Мне все же кажется, что в теории вероятностей есть содержательная трудность, которая не связана со способом ее формализации (или с наличием такой формализации вообще). Например, если рассмотреть симметричное случайное блуждание на целочисленной решетке (то есть протокол игры в орлянку симметричной монетой), то среднее положение такой траектории в каждый момент времени n всегда равно нулю. "Интуитивно ясно", что типичная траектория должна проводить справа от нуля и слева от нуля приблизительно половину всего времени, то есть половину времени в игре должен вести один игрок, а оставшуюся половину -- второй игрок. "На самом деле" типичная траектория выглядит совсем не так: в игре один из игроков лидирует подавляющее количество

[kdv2005]

Что касается житейских представлениях о случайности, то они представляют собой безнадежную путаницу из случайности, сложности и непредсказуемости. Я не могу сказать ничего содержательного на эту тему.

[sowa]

А мне почему-то кажется, что все и должно быть, как на самом деле. Может, это совсем детский опыт - игры с подбрасыванием dice (как это по-русски? - костяшка?)? Интересно, они еще в ходу?

"Мне все же кажется, что в теории вероятностей есть содержательная трудность..."

Конечно, есть. Но, я думаю, это не специфично для теории вероятностей. Даже в механике есть. То, что тело без приложения силы не теряет скорость, контринтуитивно - это просто никогда не верно в обычной жизни. Или взять задачи про обезьян, лазающих по веревкам, перекинутым через блоки. Я их до сих пор плохо понимаю. И трудность сходна с Монти Холлом - неясно, какие предположения сделаны.

[kdv2005]

А мне почему-то кажется, что все и должно быть, как на самом деле.Бросание игральных костей, конечно, развивает интуицию, но в наше время в них мало кто играет, сейчас генераторы случайных чисел встроены даже в калькуляторы. Однако тут есть чему удивиться. При времени, стремящемся к бесконечности, случайное блуждание возвращается в нуль бесконечное число раз, и после очередного возвращения весь процесс начинается заново, независимо от предыстории. В частности, из всех экскурсий из нуля, доля экскурсий в отрицательную полуось равна доле экскурсий в положительную полуось (как в частотном, так и во временном смыслах). И тем не менее при больших n у типичной траектории есть отрезок длины, близкой к n, на протяжении которого лидировал один игрок. Двумерным аналогом этого явления в статистической механике является существование капель в модели Изинга: при низких температурах типичное состояние представляет море спинов одной (скажем, положительной) ориентации, окружающее большой остров, состоящий из спинов противоположной ориентации.

[sowa]

" Впрочем, я, кажется, увлекся."

Да уж. Модель Изинга - это не то, понимание чего ожидаешь от человека с улицы.

Да я не спорю с тем, что есть вещи удивительные и парадоксальные. Я спорил только с утверждением, что у человека нет "встроенной" интуиции вероятности.

[kdv2005]

>Я спорил только с утверждением, что у человека нет "встроенной" интуиции вероятности.

Это место мы, кажется, прояснили: мне нужно было произнести другие слова.

[bgmt]

А не дадите ли Вы ссылочку (или несколько) на вот это появление отрезка лидирования одного игрока? И если возможно, объясните мне (я ничего про это не знаю), как получается аналогия между вариационной задачей, где есть что минимизировать, и чисто стохастическим явлением, где нет никакого лагранжиана и пр.? Или я чего-то совсем не понимаю и есть? Что-то тут у меня заедает.

[kdv2005]

О переменах лидерства подробно написано в двухтомнике Феллера по теории вероятностей (кажется, глава 3). Связь с моделью Изинга весьма поверхностна. Одномерное случайное блуждание на прямой в некотором смысле является простейшей марковской цепью с бесконечным числом состояний. Модель Изинга в этом же смысле является простейшим двумерным марковским полем. Но с точки зрения статистической механики одномерные модели как правило неинтересны. С одной стороны они как правило полностью считаются, а с другой стороны, ответы вырождены и на многомерный случай не переносятся. Истинная статистическая механика всегда начинается с размерности 2 и 3.

Связь капли Вульфа в модели Изинга с вариационной задачей изучали Добрушин и Шлоссман. В частности они показали что при перенормировке форма капли в пределе описывается кривой, здаваемой уравнением
√|x|+√|y|=1
Ссылки под рукой у меня нет, но, кажется их статья вышла в форме книжки в Transactions of American Mathematical Society. Я постараюсь не забыть и посмотрю в понедельник на работе.

[kdv2005]

Может, это совсем детский опыт - игры с подбрасыванием dice (как это по-русски? - костяшка?)? Интересно, они еще в ходу?

Спасибо большое за этот пример. Я как-то не обращал внимание на это соображение, но ведь действительно, наши предшественники проводили гораздо больше времени кидая кости, тасуя карты и играя в орлянку, и, следовательно их статистический опыт был куда богаче нашего. Еще в в нашем детстве игральные кубики были элементом многих игр, а в современных электронных приставках генератор случайных чисел -- это просто черный ящик, про который совершенно неясно, от чего зависит его поведение, и будет ли оно в следующий раз обладать теми же свойствами, что сегодня, или нет.

Так же, как повсеместное введение калькуляторов в американских школах убило числовую интуицию, игровая индустрия убивает интуицию статистическую.

Так и запишем.

[bgmt]

Вот всё-таки у меня нет уверенности, что вероятностная интуиция действительно приобретается. Я с интересом посмотрел Ваш разговор на эту тему, но меня Сова не убедил. Разница с физикой и прочей математикой, мне кажется, довольно простая. В отношении вероятности в нас (во многих) сидит некий фильтр wishful thinking: мы просто не видим того, что противоречит априорному убеждению. Ну вот люди, которые считают, что женщины плохо водят машину, будут рассказывать кучу подтверждающих случаев. Они будут уверены, что большинство случаев, которые они видят, подтверждают их гипотезу. Я, рядом с ними, буду видеть, как они просто отбрасывают другие случаи, и в их памяти откладывается сдвинутая картина. Это действует систематически, и если не у всех, то у очень многих. В результате те самые игравшие в азартные игры предки думали, что удача ходит чередой, разрабатывали дурацкие выигрышные стратегии в чисто азартных играх, и им казалось, что опыт подтверждает их идеи

[kdv2005]

Мне кажется, что, видимо по моему недосмотру, произошло некоторое смешение понятий. sowa, если я правильно понимаю, заметил, что теория вероятностей представляет собой формализацию интуитивных представлений человека о случайности, и в этом смысле вероятностная интуиция у человека есть, не может не быть. К ней относится, например, представление о вероятности, как о частоте в длинной серии испытаний

[kdv2005]

То есть, не в наборе точек, а в расположении точек в круге, порожденном генератором случайных чисел

[kdv2005]

Мне кажется, что еще в теории игр бывает очень неестественная логика, что демонстрирует та же самая задача Монти Холла.

Кстати, вспомнил историю про интуицию, которую рассказывал очень сильный математики Ф. Альмгрен (он, к сожалению, умер несколько лет назад). В армии он был летчиком и однажды ему пришлось лететь ночью в облаках. В какой-то момент ему стало казаться, что самолет перевернулся и летит кверху брюхом, и для того, чтобы принять правильную ориентацию, нужно снова перевернуться. Проблема была в том, что авиагоризонт показывал, что самолет летит правильно и переворачиваться не нужно. Альмгрен долго боролся с искушением и пытался убедить себя, что прибор врать не может и нужно верить не своей интуиции, а прибору. Когда он вылетел из облаков, звезды были над головой. Прибор не соврал, врала интуиция.

[sowa]

Да...

Мрачный вывод. В конце-концов компьютеры (точнее, их производители) отучат людей думать. На днях читал, что В.И. Арнольд так и полагает. Боюсь, что в этот раз в его словах есть большая доля истины.

А ведь мне никогда раньше не приходило в голову, что детские игры со случайными параметрами могут играть такую важную роль. Их было много, и мои первые были не с костями, а с самодельным датчиком случайных чисел: волчком в форме правильного шестиугольника, который делался из картонки, насаженной на спичку (попутно, видимо, усваивалось понятие правильного шестиугольника и треугольников, из которых он составлен, важность горизонтальности картонки и кто его знает, что еще).

Есть еще довольно sophisticated игра, в которой бросают кости - нарды. Интересно, в нее играют? Кажется, она встречается в одном из фильмов про Джеймса Бонда.

[kdv2005]

С шестиугольным волчком я тоже играл, но кости (мы их называли кубиками), безусловно держали первенство. Несколько раз подбрасывал монету по тысяче раз. Правда мне тогда было лет 9, про вероятности я ничего не знал и никаких ценных наблюдений не произвел. С нардами познакомился уже студентом. Среди ровесников моей дочери ее умение играть в нарды, кажется, считается экзотикой. Но ее круг общения вряд ли можно назвать представительной выборкой.

[sowa]

Да, точно, кубиками они назывались.