задача про углы

[avva]

Когда мне было 13 или 14 лет, я должен был поехать на республиканскую олимпиаду по математике, и всех участников делегации от моей области послали на сборы. Мы встречались каждый день на протяжении недели-двух, не помню точно, в школе, где тренировались на сборниках олимпиадных задач под присмотром нескольких учителей. Я почти все забыл об этом

Comments

[anonymous]

Вот куда более простое, хотя и не изящное решение, которое сразу приходит в голову, если заметить, что длины BA и BD подозрительно схожи.

Возьмем треугольник ABC с углами 103, 51 и 26 градусов. Проведем AD под углом 30 градусов к AC и BD под углом 17 градусов к BC. Тогда угол DBA равен 34 градусам, следовательно треугольник BAD равнобедренный, и в нем медиана из вершины B совпадает с высотой и биссектрисой. Пусть H - середина стороны AD, E - основание перпендикуляра из D на AC, F - основание перпендикуляра из D на BC.

(1) DE=DH, так как угол DAC равен 30 градусам.

(2) DH=DF, так как углы HBD и DBC равны 17 градусам.

(3) Следовательно, DE=DF, а значит точка D лежит на биссектрисе угла ACB, и исходные данные задачи восстановлены.

[avva]

Спасибо, красиво! Если уже знать ответ, это более быстрое док-во, действительно.

Любопытно, как здесь по-другому, но так же неизбежно используется "специальный" характер угла в 30 градусов; очевидно, геометрического решения для общих углов не существует, так что любое решение должно как-то эти 30гр. задействовать.

[anonymous]

О, вот ваше решение - квинтэссенция того, как следует решать такие задачи. Возьмём ответ и проверим, что он правильный.

Когда я их читаю, никакого "чуда" никогда не вижу. Вместо этого вижу необходимость дубового механического угадывания, примерно как при ручном взятии сложных интегралов. Ну и полезность подобной псевдоматематики для развития интеллекта такая же.

Почему задача решается так, как написано в посте? А просто потому, что 13 + 60 = 73. Для углов a, 30 и a+60 ответом будет 30-a. Не было бы тщательно подогнанных под такое соотношение значений углов - не было бы этого решения

[mopexod]

В целом - соглашусь. Перерешал сотни (если не тысячи) таких задач в матшколе, и, пожалуй, ни разу, ничего похожего на практике не встретил. Всё же, в реальной жизни ответ заранее не известен, и углы не подобраны, увы.

Пожалуй, единственная польза от таких задач - научиться решать задачи без гарантированного формального метода решения.

Я вполне вижу эту пользу, но не уверен, что она перевешивает то, что большинство школьников относятся к этому, как к совершенно непознаваемому бреду.

[livelight]

А в чём вы эти чертежи рисуете?

[avva]

https://www.geogebra.org/

Полезная штука, но довольно глючная в интерфейсе, много раз ее ругал, пока рисовал.

[hyperpov]

Попробуйте Золушку. Глючить тоже любит, но не на таких тривиальных картинках.

[avva]

Посмотрю, спасибо!

[i_am_a_jew_01]

После того как нарисована окружность, видно, что треугольник BED' равносторонний. Отсюда следует, что искомый угол равен 17 градусов.

На самом деле, очень красивая задача. Наличие биссектрисы указывает на то, что при решении должна быть использована симметрия. Для этого треугольник необходимо преобразовать в равнобедренный. Это можно сделать двумя путями. Но для окончательного чисто геометрического решения равнобедренного треугольника мало, не известны углы при основании. Тогда на помощь приходит концепция равносторонних треугольников. И это позволяет решить задачу.

[levtsn]

Алгебра отстой численные методы рулят

[biogalkin]

4 неизвестных и 4 треугольника

[biogalkin]

Одно неизвестное - искомый угол.

Остальные неизвестные углы тривиально выражаются через искомый.

[dmitrmax]

из четырех треугольников независимыми являются только три, поэтому в такой системе уравнений одно является линейной комбинацией трёх других. Как следствие вы получаете линейное многообразие решений.