задача про углы
Когда мне было 13 или 14 лет, я должен был поехать на республиканскую олимпиаду по математике, и всех участников делегации от моей области послали на сборы. Мы встречались каждый день на протяжении недели-двух, не помню точно, в школе, где тренировались на сборниках олимпиадных задач под присмотром нескольких учителей. Я почти все забыл об этом времени, кроме одного очень яркого образа: геометр, старенький и сгорбленный, имени которого я не помню. Он говорил медленно, двигался медленно, чертил четко и уверенно, казался мне невероятно древним, дореволюционным. Задачи на построение, на доказательство, на нахождение каких-то точек - все падали под двумя-тремя уверенными штрихами мелом.
Я не понимал, как это происходит, и спорил с другими учениками. Может, он просто помнит все решения задач, что приносит? Мы решили проверить его и принесли на очередной урок несколько своих задач, которые не смогли сами решить (из какого-то учебника или сборника). Один из нас рисовал на доске очередную задачу, он смотрел на нее, казалось, секунду или две, подходил своей медленной птичьей походкой, брал мел и говорил: вот здесь проводим окружность... строим треугольник... продлеваем линию... через полминуты задача оказывалась очевидной. Это была какая-то магия. Не помню ни одной задачи, не помню лиц, помню ощущение. Восхищение, смешанное с досадой от того, что сам так не могу.
Вот задача в таком духе, над которой я посидел как следует в последние дни и все-таки не решил (ну, тригонометрическое решение нашел, но это не считается). Спасибо Константину Кнопу, который помог мне с ней разобраться.
Из чертежа должно быть все понятно - даны углы, и надо найти угол x. На случай, если плохо видно - угол ACB биссектриса делит на две половинки по 13° каждая, угол CAD=30°, BAD=73°. Если хотите решать самостоятельно, не читайте дальше после чертежа - я объясняю ниже решение.
Решение:
На первый взгляд может показаться, что нужно просто рассчитать углы во всех вершинах, исходя из суммы углов в треугольнике (180°); но если попробуете, ничего не выйдет.
Далее, можно найти тригонометрическое решение с помощью калькулятора. Я сделал это следующим путем (есть более прямые, см. например тригонометрическую теорему Чевы): отношение длин сторон AC и BC известно из теоремы синусов как отношение синусов противоположных им углов. С другой стороны, если опустить из точки D перпендикуляры на AC и BC длиной a (одинаковой, т.к. CD биссектриса) и написать выражения тангенсов углов образующихся прямоугольных треугольников, то можно опять получить отношение длин AC/BC, из которого исчезает a, и остается tan(x) в качестве неизвестного.
Теперь к геометрическому решению. Продолжим сторону CA до точки E, так, чтобы CE=CB, и мы получим большой равнобедренный треугольник, в котором биссектриса CD становится также высотой. Отсюда легко вычислить углы в его основаниях (77°), а также угол EAB, равный - какое интересное совпадение - тоже 77°, так что оказывается, что треугольник EAB тоже равнобедренный, и BE=BA:
Теперь получается интересная штука. Треугольник EBD на самом деле равносторонний, а не просто равнобедренный (то, что он равнобедренный, т.е. ED=BD, очевидно). Если мы это докажем, то задача решена: угол при основании большого равнобедренного треугольника EBC равен 77°, минус угол равностороннего треугольника 60°, остается искомое x=17°, ну и все остальные углы на рисунке легко заполнить. Но доказать это напрямую из рисунка кажется не таким простым делом, по крайней мере я не нашел, как. Вместо этого мы используем следующий трюк.
Забудем на секунду про точки A и D, и представим, что у нас есть только большой равнобедренный треугольник EBC. Начиная с этого треугольника, проведем окружность с центром B и радиусом BE, и отметим, где эта окружность пересекается с стороной EC треугольника и его высотой. Назовем эти точки A' и D', это такой толстый намек:
Точка D' лежит на биссектрисе равнобедренного треугольника, и поэтому ED'=BD'. С другой стороны, точки E и D' лежат на окружности, поэтому BE=BD'. Вместе получаем, что треугольник BED' равносторонний, и угол EBD' равен 60°. Тогда "внешний" угол, дополняющий его, равен 360°-60° = 300°. Этот внешний угол является "центральным углом" для хорды ED'. А угол EA'D' является "вписанным углом" для той же хорды, и по теореме о вписанном угле равен ровно половине центрального угла, т.е. 300°/2 = 150°. Наконец, угол CA'D', дополняющий только что названный угол до прямой, равен 180°-150°=30°.
Теперь, когда мы вычислили все эти углы, сравним этот рисунок с предыдущим. Точка A, как и точка A', лежит на отрезке CE, и одновременно на окружности с центром B и радиусом BE (потому что BE=BA). Поэтому A совпадает с A'. Но теперь угол CA'D'=CAD' равен 30° по только что сделанному построению, а угол CAD равен 30° из условий задачи. Значит, точки D и D' тоже совпадают. Но это значит, что треугольник EBD совпадает с треугольником EBD' и действительно является равносторонним. А из этого, как уже сказано выше, легко получаем все углы:
Эта запись посвящается старенькому геометру, имени которого я не знаю, который показал мне, что такое магия в Житомире 1989 или 1990 года.
Я не понимал, как это происходит, и спорил с другими учениками. Может, он просто помнит все решения задач, что приносит? Мы решили проверить его и принесли на очередной урок несколько своих задач, которые не смогли сами решить (из какого-то учебника или сборника). Один из нас рисовал на доске очередную задачу, он смотрел на нее, казалось, секунду или две, подходил своей медленной птичьей походкой, брал мел и говорил: вот здесь проводим окружность... строим треугольник... продлеваем линию... через полминуты задача оказывалась очевидной. Это была какая-то магия. Не помню ни одной задачи, не помню лиц, помню ощущение. Восхищение, смешанное с досадой от того, что сам так не могу.
Вот задача в таком духе, над которой я посидел как следует в последние дни и все-таки не решил (ну, тригонометрическое решение нашел, но это не считается). Спасибо Константину Кнопу, который помог мне с ней разобраться.
Из чертежа должно быть все понятно - даны углы, и надо найти угол x. На случай, если плохо видно - угол ACB биссектриса делит на две половинки по 13° каждая, угол CAD=30°, BAD=73°. Если хотите решать самостоятельно, не читайте дальше после чертежа - я объясняю ниже решение.
Решение:
На первый взгляд может показаться, что нужно просто рассчитать углы во всех вершинах, исходя из суммы углов в треугольнике (180°); но если попробуете, ничего не выйдет.
Далее, можно найти тригонометрическое решение с помощью калькулятора. Я сделал это следующим путем (есть более прямые, см. например тригонометрическую теорему Чевы): отношение длин сторон AC и BC известно из теоремы синусов как отношение синусов противоположных им углов. С другой стороны, если опустить из точки D перпендикуляры на AC и BC длиной a (одинаковой, т.к. CD биссектриса) и написать выражения тангенсов углов образующихся прямоугольных треугольников, то можно опять получить отношение длин AC/BC, из которого исчезает a, и остается tan(x) в качестве неизвестного.
Теперь к геометрическому решению. Продолжим сторону CA до точки E, так, чтобы CE=CB, и мы получим большой равнобедренный треугольник, в котором биссектриса CD становится также высотой. Отсюда легко вычислить углы в его основаниях (77°), а также угол EAB, равный - какое интересное совпадение - тоже 77°, так что оказывается, что треугольник EAB тоже равнобедренный, и BE=BA:
Теперь получается интересная штука. Треугольник EBD на самом деле равносторонний, а не просто равнобедренный (то, что он равнобедренный, т.е. ED=BD, очевидно). Если мы это докажем, то задача решена: угол при основании большого равнобедренного треугольника EBC равен 77°, минус угол равностороннего треугольника 60°, остается искомое x=17°, ну и все остальные углы на рисунке легко заполнить. Но доказать это напрямую из рисунка кажется не таким простым делом, по крайней мере я не нашел, как. Вместо этого мы используем следующий трюк.
Забудем на секунду про точки A и D, и представим, что у нас есть только большой равнобедренный треугольник EBC. Начиная с этого треугольника, проведем окружность с центром B и радиусом BE, и отметим, где эта окружность пересекается с стороной EC треугольника и его высотой. Назовем эти точки A' и D', это такой толстый намек:
Точка D' лежит на биссектрисе равнобедренного треугольника, и поэтому ED'=BD'. С другой стороны, точки E и D' лежат на окружности, поэтому BE=BD'. Вместе получаем, что треугольник BED' равносторонний, и угол EBD' равен 60°. Тогда "внешний" угол, дополняющий его, равен 360°-60° = 300°. Этот внешний угол является "центральным углом" для хорды ED'. А угол EA'D' является "вписанным углом" для той же хорды, и по теореме о вписанном угле равен ровно половине центрального угла, т.е. 300°/2 = 150°. Наконец, угол CA'D', дополняющий только что названный угол до прямой, равен 180°-150°=30°.
Теперь, когда мы вычислили все эти углы, сравним этот рисунок с предыдущим. Точка A, как и точка A', лежит на отрезке CE, и одновременно на окружности с центром B и радиусом BE (потому что BE=BA). Поэтому A совпадает с A'. Но теперь угол CA'D'=CAD' равен 30° по только что сделанному построению, а угол CAD равен 30° из условий задачи. Значит, точки D и D' тоже совпадают. Но это значит, что треугольник EBD совпадает с треугольником EBD' и действительно является равносторонним. А из этого, как уже сказано выше, легко получаем все углы:
Эта запись посвящается старенькому геометру, имени которого я не знаю, который показал мне, что такое магия в Житомире 1989 или 1990 года.