Математическое: Реализация поверхности как геодезического многообразия

[akor168]

Что-то я не соображу, а при каких условиях на первую квадратичную форму двумерная поверхность может быть изометрически вложена(локально) в евклидово пространство как тотально-геодезическое многообразие. То есть, чтобы можно было измерять внутреннее расстояние по поверхности как просто расстояние в объемлющем пространстве между точками

Comments

[lj_frank_bot]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: IT.
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.

Frank,
LJ Team

[xxxxx]

тотально-геодезическое многообразие в евклидовом пространстве это часом не плоскость?

[akor168]

По идее линейчатые поверхности как минимум еще (то есть которые состоят из прямых).

[xxxxx]

линейчатая поверхность не содержит отрезка между любыми своими двумя точками (или даже локально), так что не подходит

[akor168]

А что же тогда можно потребовать, чтобы можно было реализовать геодезическое расстояние в исходном пространстве как можно более простым образом через пространство вложения...

[buddha239]

Таки Нэш доказал (не знал этого).:)

https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

[akor168]

Ну, изометрическое вложение то есть, но хотелось бы еще, чтобы геодезические были бы как можно проще относительно вложения.

[buddha239]

Ну тогда без шансов.:) Потому что все кратчайшие должны быть отрезками. Илья все правильно пишет.

Виноват - невнимательно прочитал пост.

[akor168]

http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Totally_geodesic_submanifold

This result shows that for most Riemannian manifolds no totally geodesic submanifolds of dimension at least two exist.

[misha_b]

It has to be isometric to a convex subset of a linear space.