О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч.1.
После публикации поста " О планете Нибиру" отдельные граждане выразили пожелание узнать поподробнее, что и как считал Урбан Леверье сотоварищи, охотясь за неизвестной тогда планетой Нептун.
Сначала мне показалось, что можно по-быстрому накидать четыре абзаца вместо одного в старом посте, но фокус не удался. Тема распухла настолько, что пришлось делить на две части.
Делать - так по-большому!
Сегодня, в первой части, я расскажу о математическом методе, которым пользовался Леверье в своих расчетах. Ну, расскажу - это громко сказано. Обрисую в общих чертах - так точнее. Тем не менее, с практическим примером.
Так вот, Леверье открыл Нептун "на кончике пера" используя так называемую теорию возмущений. Она, вообще, очень много где применяется, в частности, и в особенности, в квантовой механике.
Идея заключается в следующем:
Допустим, мы исследуем некоторый физический процесс, описываемый, скажем, уравнением=f.)
Сейчас совершенно неважно, что такое
- это может быть функция, дифференциальный оператор, функционал - что угодно (я и еще много других страшных слов знаю, ага).
Пусть у нас есть точное решение некоторого упрощенного уравнения (которое "легко" решается), но при этом "близкого" к нашему исходному.
Обозначим его&space;=&space;f_0,)
его решение -
Иногда оказывается возможным представить решение сложного уравнения, как "возмущение" простого, в виде суммы по степеням "малого" параметра (параметра возмущения):
преобразовывается к виду
, так, что
.
Понятно, что если приравнять малый параметр к нулю, то просто получится "невозмущенное" уравнение.
Обычно (хотя и далеко не всегда), для получения таких "возмущенных" представлений используются разные сильные колдунства, по типу рядов Тейлора.
Для применимости теории возмущений "малость" параметра крайне важна, и даже критична. Когда он реально маленький, то можно сделать резкий финт ушами и громко заявить: вклад степеней параметра выше первой ничтожно мал, мы их выкидываем (кстати, предлагаю желающим подумать: а, собственно, почему?), а наше "возмущенное" решение теперь имеет куда более удобоваримый вид:
В таком случае с уравнением обычно бороться куда проще.
Немаловажно, к тому же, что описанный шулерский прием можно применять последовательно несколько раз, принимая найденное "возмущенное" решение за новое "простое".
Однако, все вышесказанное - это пока разговоры в пользу бедных. Пора переходить к реальным делам.
В качестве практического примера (о-очень простого), я научу вас одному из способов вычисления арифметического квадратного корня без калькулятора. Не планетарная орбита, конечно, приходится быть скромнее.
(Ну, без фанатизма и мазохизма все же, пусть калькулятор будет под рукой. Просто пользоваться будем только четырьмя арифметическими действиями, которые, в принципе, можно выполнить на бумаге в столбик. Тру-реконструкторы, понятно, руки после такого не подадут.)
Очевидно, задача нахождения
эквивалентна нахождению положительного решения уравнения
Вычислим для примера
ли, что тоже самое, решим уравнение
Так как число 8 близко к 9, а корень из него нам (я надеюсь) известен, то в качестве "невозмущенного" уравнения возьмем
Имеем:
^2&space;=&space;8.)
Или:
Отбрасываем член высшего порядка малости
, получаем:
Отсюда:
Таким образом, приближенно:
.)
Сравните с точным значением:
Между прочим, 3 верных значащих цифры, а начинали-то с одной!
Нанести, смыть, повторить...
Повторим трюк еще раз:
^2%20=%208.)
Можете поверить мне на слово, а лучше проверьте, что новое приближение равно:
Сравните с точным значением:
Теперь верных значащих цифр уже 5! Вполне достаточно, между прочим, для большинства практических приложений.
В следующей части мы обсудим, как Леверье воспользовался теорией возмущений для поисков планеты Нептун.
Продолжение.
PS. Тилацин ни в чем не виноват, это просто одна из первых картинок, которые выдает Google по запросу "Леверье охотится на планету Нептун".
[Честно-честно!]
Сначала мне показалось, что можно по-быстрому накидать четыре абзаца вместо одного в старом посте, но фокус не удался. Тема распухла настолько, что пришлось делить на две части.
Делать - так по-большому!
Сегодня, в первой части, я расскажу о математическом методе, которым пользовался Леверье в своих расчетах. Ну, расскажу - это громко сказано. Обрисую в общих чертах - так точнее. Тем не менее, с практическим примером.
Так вот, Леверье открыл Нептун "на кончике пера" используя так называемую теорию возмущений. Она, вообще, очень много где применяется, в частности, и в особенности, в квантовой механике.
Идея заключается в следующем:
Допустим, мы исследуем некоторый физический процесс, описываемый, скажем, уравнением
Сейчас совершенно неважно, что такое
- это может быть функция, дифференциальный оператор, функционал - что угодно (я и еще много других страшных слов знаю, ага).
Пусть у нас есть точное решение некоторого упрощенного уравнения (которое "легко" решается), но при этом "близкого" к нашему исходному.
Обозначим его
его решение -
Иногда оказывается возможным представить решение сложного уравнения, как "возмущение" простого, в виде суммы по степеням "малого" параметра (параметра возмущения):
преобразовывается к виду
, так, что
.
Понятно, что если приравнять малый параметр к нулю, то просто получится "невозмущенное" уравнение.
Обычно (хотя и далеко не всегда), для получения таких "возмущенных" представлений используются разные сильные колдунства, по типу рядов Тейлора.
Для применимости теории возмущений "малость" параметра крайне важна, и даже критична. Когда он реально маленький, то можно сделать резкий финт ушами и громко заявить: вклад степеней параметра выше первой ничтожно мал, мы их выкидываем (кстати, предлагаю желающим подумать: а, собственно, почему?), а наше "возмущенное" решение теперь имеет куда более удобоваримый вид:
В таком случае с уравнением обычно бороться куда проще.
Немаловажно, к тому же, что описанный шулерский прием можно применять последовательно несколько раз, принимая найденное "возмущенное" решение за новое "простое".
Однако, все вышесказанное - это пока разговоры в пользу бедных. Пора переходить к реальным делам.
В качестве практического примера (о-очень простого), я научу вас одному из способов вычисления арифметического квадратного корня без калькулятора. Не планетарная орбита, конечно, приходится быть скромнее.
(Ну, без фанатизма и мазохизма все же, пусть калькулятор будет под рукой. Просто пользоваться будем только четырьмя арифметическими действиями, которые, в принципе, можно выполнить на бумаге в столбик. Тру-реконструкторы, понятно, руки после такого не подадут.)
Очевидно, задача нахождения
эквивалентна нахождению положительного решения уравнения
Вычислим для примера
ли, что тоже самое, решим уравнение
Так как число 8 близко к 9, а корень из него нам (я надеюсь) известен, то в качестве "невозмущенного" уравнения возьмем
Имеем:
Или:
Отбрасываем член высшего порядка малости
, получаем:
Отсюда:
Таким образом, приближенно:
Сравните с точным значением:
Между прочим, 3 верных значащих цифры, а начинали-то с одной!
Нанести, смыть, повторить...
Повторим трюк еще раз:
Можете поверить мне на слово, а лучше проверьте, что новое приближение равно:
Сравните с точным значением:
Теперь верных значащих цифр уже 5! Вполне достаточно, между прочим, для большинства практических приложений.
В следующей части мы обсудим, как Леверье воспользовался теорией возмущений для поисков планеты Нептун.
Продолжение.
PS. Тилацин ни в чем не виноват, это просто одна из первых картинок, которые выдает Google по запросу "Леверье охотится на планету Нептун".
[Честно-честно!]