И вот так всегда, на самом интересном месте! :) Самый простой вопрос: норма на булевой алгебре как-то похожа по свойствам на норму в линейных пространствах? Можно ли объяснить на простом примере (аналог меры Лебега на [0,1], скажем), что это за булева алгебра, какой функционал? Почему аналогом продолжения меры оказывается пополнение (казалось бы, зачем нам добавлять новые "множества")? Что можно дальше делать с этим хозяйством: Как строится теория интегрирования? Можно ли для примера сформулировать и доказать какое-нибудь не очень тривиальное утверждение? (Меня сейчас вот интересует теорема Радона-Никодима, но это так, к слову.) Я понимаю, что ответы на все эти вопросы, мягко говоря, требуют много времени на написание и несколько выбиваются из формата ЖЖ, и вообще всё это где-то сделано и опубликовано, но наверняка там изложено с характерным для конструктивистов вниманием к деталям, так что ничего понять нельзя.
Самый простой ответ: похожа. Особенно если вспомнить теорию интеграла и убедиться, что мера множества и L_1-норма его индикатора не сильно различаются. Раз уж сразу зашла речь об интеграле: в конструктивном случае, конечно, объекты его теории не суть точечно-определённые функции (Шанин и обзывал-то их просто "конструктами"). "Простые измеримые функции" будут у нас формальными линейными комбинациями "измеримых множеств", а произвольные "интегрируемые в соотв. степени" - точками пополнения пространства "простых" по соответственной интегральной норме
( ... )
Стало понятнее, но не окончательно пока :) Верно ли, что "множество меры нуль" теперь только одно и элементам пополненного пространства отвечают классы множеств "с точностью до изменений меры нуль"? А можно ли содержательно объяснить, почему не возникает аналога неизмеримых множеств? (Помимо того, что никаких множеств вообще нет.) Точнее, почему не будет какой-нибудь разумной операции, которая выведет из пополненного пространства? В "классике" неизмеримые множества строятся с аксиомой выбора, но, как я понимаю, и без неё окажется, что нельзя доказать измеримость каких-то множеств, например, проекций любых измеримых. В частности, конструктивный аналог проектора не определяется, не продолжается, или меры на произведении вообще как-то неклассически устроены, или что?
А стиль конструктивистских работ - родимое пятно "надёжной математики". Просто обидно даже - ведь есть интересные вещи, но не прочитать.
Строго говоря, множеств меры нуль - вагон и ма-а-ааленькая тележка. Примеры: \([0,0]\), \([1,1]\) и \([0,1]\cap [5,6]\), далее везде. Но с точностью до равенства в нашем метрическом пространстве - да, можно считать множество меры нуль единственным. Хотя, справедливости ради, такой подход является скорее "классическим", чем конструктивистским: конструктивисты не любят факторизовать всё подряд (ввиду наличия неразрешимых условий, по коим эффективно не пофакторизуешь). И элементы пополнения действительно можно считать аналогами "классов множеств с точностью до множеств меры нуль".
Про "разумную операцию" - а что это могло бы быть? Булевские операции замечательно продолжились по непрерывности, а gридумывать дополнительные - это, вообще-то, значило бы заменять изначально введённый объект новым. И самое-то главное: "классики" рассматривают свои измеримые множества как точечные, и оперируют с ними соответственно (для них различие между счётно-аддитивной и конечно-аддитивной мерой принципиально, а для конструктивиста уже определение понятия
( ... )
Offtop: Петровский - 2007alexey_remizovFebruary 21 2007, 21:09:29 UTC
Гастрит, прошу прощения за оффтоп!
Но раз уж стараниями В.Е.П. и Вашими я знаю Вашу фамилию и вижу оную в списке секретариата конференции Петровский-2007, то спрошу о наболевшем. Кто занимается тезисами этой конференции? - у меня вопрос по оформлению их, на сайте какая-то несколько противоречивая (на мой взгляд) информация.
Re: Offtop: Петровский - 2007__gastritFebruary 21 2007, 22:22:55 UTC
Поелику личность моя - давно уже секрет Полишинеля, так чего уж там :)
На сайте информация противоречивая не только на Ваш взгляд: там имеются наслоения разных эпох подготовки конференции (изначально, как и в прошлые годы, предполагалось получать тезисы по почте, а потом решили осовременить процесс). Последним веянием считается автоматизированная загрузка через форму на спецстранице (с прилагающимися там же образцами). Если есть дополнительные вопросы - пишите на ящик конференции, его регулярно просматривают.
Re: Offtop: Петровский - 2007__gastritFebruary 21 2007, 22:51:34 UTC
Скажем так: визуально я не вижу причин, по которым оно бы не годилось - шаблону, вроде, соответствует. Если, разумеется, за "и т.д." не скрывается текст, объём коего сравним с "Войной и миром" :)
Comments 26
Самый простой вопрос: норма на булевой алгебре как-то похожа по свойствам на норму в линейных пространствах?
Можно ли объяснить на простом примере (аналог меры Лебега на [0,1], скажем), что это за булева алгебра, какой функционал? Почему аналогом продолжения меры оказывается пополнение (казалось бы, зачем нам добавлять новые "множества")?
Что можно дальше делать с этим хозяйством: Как строится теория интегрирования? Можно ли для примера сформулировать и доказать какое-нибудь не очень тривиальное утверждение? (Меня сейчас вот интересует теорема Радона-Никодима, но это так, к слову.)
Я понимаю, что ответы на все эти вопросы, мягко говоря, требуют много времени на написание и несколько выбиваются из формата ЖЖ, и вообще всё это где-то сделано и опубликовано, но наверняка там изложено с характерным для конструктивистов вниманием к деталям, так что ничего понять нельзя.
Reply
Reply
А можно ли содержательно объяснить, почему не возникает аналога неизмеримых множеств? (Помимо того, что никаких множеств вообще нет.) Точнее, почему не будет какой-нибудь разумной операции, которая выведет из пополненного пространства? В "классике" неизмеримые множества строятся с аксиомой выбора, но, как я понимаю, и без неё окажется, что нельзя доказать измеримость каких-то множеств, например, проекций любых измеримых. В частности, конструктивный аналог проектора не определяется, не продолжается, или меры на произведении вообще как-то неклассически устроены, или что?
А стиль конструктивистских работ - родимое пятно "надёжной математики". Просто обидно даже - ведь есть интересные вещи, но не прочитать.
Reply
Про "разумную операцию" - а что это могло бы быть? Булевские операции замечательно продолжились по непрерывности, а gридумывать дополнительные - это, вообще-то, значило бы заменять изначально введённый объект новым. И самое-то главное: "классики" рассматривают свои измеримые множества как точечные, и оперируют с ними соответственно (для них различие между счётно-аддитивной и конечно-аддитивной мерой принципиально, а для конструктивиста уже определение понятия ( ... )
Reply
Но раз уж стараниями В.Е.П. и Вашими я знаю Вашу фамилию и вижу оную в списке секретариата конференции Петровский-2007, то спрошу о наболевшем. Кто занимается тезисами этой конференции? - у меня вопрос по оформлению их, на сайте какая-то несколько противоречивая (на мой взгляд) информация.
Reply
На сайте информация противоречивая не только на Ваш взгляд: там имеются наслоения разных эпох подготовки конференции (изначально, как и в прошлые годы, предполагалось получать тезисы по почте, а потом решили осовременить процесс). Последним веянием считается автоматизированная загрузка через форму на спецстранице (с прилагающимися там же образцами). Если есть дополнительные вопросы - пишите на ящик конференции, его регулярно просматривают.
С уважением,
Гастрит
Reply
Reply
С уважением,
Гастрит
Reply
Leave a comment