Строго говоря, множеств меры нуль - вагон и ма-а-ааленькая тележка. Примеры: \([0,0]\), \([1,1]\) и \([0,1]\cap [5,6]\), далее везде. Но с точностью до равенства в нашем метрическом пространстве - да, можно считать множество меры нуль единственным. Хотя, справедливости ради, такой подход является скорее "классическим", чем конструктивистским: конструктивисты не любят факторизовать всё подряд (ввиду наличия неразрешимых условий, по коим эффективно не пофакторизуешь). И элементы пополнения действительно можно считать аналогами "классов множеств с точностью до множеств меры нуль".
Про "разумную операцию" - а что это могло бы быть? Булевские операции замечательно продолжились по непрерывности, а gридумывать дополнительные - это, вообще-то, значило бы заменять изначально введённый объект новым. И самое-то главное: "классики" рассматривают свои измеримые множества как точечные, и оперируют с ними соответственно (для них различие между счётно-аддитивной и конечно-аддитивной мерой принципиально, а для конструктивиста уже определение понятия счётно-аддитивной меры смехотворно). В конструктивной же теории мы имеем дело не с точечными множествами, а просто с некоторыми точками некоторых метрических пространств; об "элементах" этих "измеримых множеств" и всяких "если мера отлична от нуля то непусто" речи не идёт.
Теперь про аксиому выбора. Самое смешное, что с конструктивистской точки зрения эта подозрительная для многих "классиков" аксиома безобидна, как слеза младенца. Гораздо более мутными являются такие "самоочевидные" вещи, как аксиома степени, например. И построить конструктивистский аналог "стандартного" неизмеримого множества не представляет никакой трудности - только доказывать он не будет ни-че-го. Дело в двух вещах:
1) Разное понимание самого исходного понятия "вещественное число". 2) Разный подход к построению теории меры.
Давайте попробуем, ради развлечения. Сопоставляем каждому вещественному числу x множество вида \(\{y\in\mathbb R | (\exists z\in\mathbb Q) (x-y=z)\}\). Равенство в последней формуле понимается в смысле вещественных чисел (арифметизировать - не есть большая проблема). Сие есть замечательное множество, и даже не очень высоко в иерархии Клини-Мостовского (вариант: нескольких мутных статьяхбашне Маркова) лежащее. Теперь применяем аксиому выбора, сиречь рассматриваем множество наименьших (с точки зрения обычного порядка натуральных чисел, ибо при нашем подходе - привет Кронекеру - у нас любой объект в конечном итоге есть натуральное число, называйся оно хоть трижды вещественным) элементов множеств нашего параметризованного вещественными числами семейства. То, что получится в результате, будет лежать у Клини-Мостовского чуть выше - но тоже вполне досягаемо. При этом, являясь подмножеством вещественной прямой, оно будет накрываться теми же сингулярными покрытиями, что и сама эта прямая (а потому "иметь меру нуль"). Ну, и в чём был смысл нашей бурной деятельности?
С другой стороны, в конструктивистской теории меры объекты рассмотрения - вообще не суть точечные множества, и как их связать с построенным нами точечным монстром, совершенно не ясно. Сие относится и к произведению мер тоже: точечные множества там не то, чтобы сильно встречаются (это скорее похоже на тензорное произведение линейных пространств).
С уважением, Гастрит
P.S.: В заключение - насчёт стиля. Категорически не согласен. Во-первых, есть даже такой термин - "шанинизм" :)) Я не знаю, какие конструктивистские работы попадались Вам, но, ИМХО, статьи самого Маркова зачастую более читабельны чуть не на порядок. Кроме того, тут, полагаю, есть ещё следующий момент. Когда подходу 10 лет от роду, то:
1) даже сами представители направления и даже для себя ещё толком не выяснили, что делать можно, и чего - нельзя (а потому перестраховываются по полной и пишут выкладки до буковки); 2) ещё не сложился фольклор (который позволяет заменять 100 страниц выкладок одной лёгкой фразой); 3) ещё не обкатаны разные подходы к изложению материала и не выбран оптимальный ("Матсмесь" Литлвуда не читали? Там имеются очень интересные пассажи про развитие стиля подачи как раз "классических" результатов!).
Так что "шанинизм", ИМХО - не неизбежное зло, а болезнь роста. Обходиться без него сегодня и нужно, да и возможности есть.
На содержательную часть отвечу по мере прочтения, а пока про стиль. Произошло случайное непонимание и я к почти всему сказанному в PS могу только присоединиться. Под "родимым пятном" (вернее было сказать "родовая травма") я подразумевал Ваш пункт (1). И преодолевать надо, конечно. Кстати, сейчас на мехмате читаются какие-нибудь спецкурсы по конструктивному анализу?
В 2007 был жив Хаханян. Он мог читать конструктивный и интуиционистский анализ.
В середине - конце 2010х КА иногда (не уверен, что всякий год) читал Плиско. С 2020 и дальше - не знаю, но можно посмотреть по сайту кафедры логики или ее группе в контакте.
Пересказать книжку Кушнера, скажем, действительно может много кто. Вопрос в степени достаточности такого пересказа (вышеупомянутого интеграла Лебега, например, в этой книжке нет). А чтобы выйти за её пределы - надо более-менее сидеть непосредственно в теме, между тем как ни Хаханян, ни Плиско, вроде бы, как раз анализом особо и не занимались (первый - "неклассические теории множеств", второй - "суперинтуиционистские логики").
По поводу разумной операции. Я, вероятно, имел в виду примерно такой более общий вопрос (к конструктивизму это прямого отношения не имеет). Пусть есть некоторое метрическое пространство (неполное) и на нём указана некоторая дополнительная структура (например, группа по какой-то операции, или пространство есть образ чего-то хорошего, и т.п.). Вопрос: при каких условиях можно "продолжить" эту дополнительную структуру на пополнение? Не знаете ли Вы каких-то результатов на эту тему? Это к тому, какая часть классической теории меры сохранит осмысленность при том или ином конструктивном переводе (ведь часто реально используются весьма слабые свойства, не прям "множества состоят из точек").
И один конкретный вопрос (глупый, наверное). Построили мы конструктивную меру. Возьмём набор интервалов из примера Заславского, у него мера меньше 1/2^n. Почему отсюда не следует, что и мера покрытого ими отрезка [0,1] меньше 1/2^n? В "классике", насколько я помню, если подмножество измеримо, то его мера меньше меры объемлющего множества. Есть ли аналог в конструктивной теории для понятия подмножества и для этого утверждения?
И наконец. А Вы читаете кому-нибудь какой-нибудь спецкурс про конструктивизм? Если нет, то почему?
Классическая ситуация: если некое отображение из неполного метрического пространства \(M_1\) в полное (последнее общности нимало не ограничивает - образ-то пополнить всегда можно) является липшицевым, то оно однозначным образом по непрерывности продолжается на пополнение пространства \(M_1\). В рассмотренном конкретном случае используется именно этот общий (и, по сути, тривиальный) факт.
Теперь про "классику". Там есть интересное понятие, именуемое сигма-аддитивностью меры. Если таковой нет, то мера бесконечного объединения попарно непересекающихся множеств не обязана совпадать с суммой ряда (классический пример: мера на отрезках в $\mathbb Q$ вместо $\mathbb R$). В конструктивную же математику сигма-аддитивность никаким образом не перетаскивается. Поэтому мы изначально меняем всю идеологию: мы отказываемся от "точечной" трактовки измеримых множеств - они суть элементы некоторого метрического пространства, и не более того.
Спецкурсов не читаю, ибо нахожусь в переходном состоянии. Как будет более-менее чёткий статус - посмотрим.
Про "разумную операцию" - а что это могло бы быть? Булевские операции замечательно продолжились по непрерывности, а gридумывать дополнительные - это, вообще-то, значило бы заменять изначально введённый объект новым. И самое-то главное: "классики" рассматривают свои измеримые множества как точечные, и оперируют с ними соответственно (для них различие между счётно-аддитивной и конечно-аддитивной мерой принципиально, а для конструктивиста уже определение понятия счётно-аддитивной меры смехотворно). В конструктивной же теории мы имеем дело не с точечными множествами, а просто с некоторыми точками некоторых метрических пространств; об "элементах" этих "измеримых множеств" и всяких "если мера отлична от нуля то непусто" речи не идёт.
Теперь про аксиому выбора. Самое смешное, что с конструктивистской точки зрения эта подозрительная для многих "классиков" аксиома безобидна, как слеза младенца. Гораздо более мутными являются такие "самоочевидные" вещи, как аксиома степени, например. И построить конструктивистский аналог "стандартного" неизмеримого множества не представляет никакой трудности - только доказывать он не будет ни-че-го. Дело в двух вещах:
1) Разное понимание самого исходного понятия "вещественное число".
2) Разный подход к построению теории меры.
Давайте попробуем, ради развлечения. Сопоставляем каждому вещественному числу x множество вида \(\{y\in\mathbb R | (\exists z\in\mathbb Q) (x-y=z)\}\). Равенство в последней формуле понимается в смысле вещественных чисел (арифметизировать - не есть большая проблема). Сие есть замечательное множество, и даже не очень высоко в иерархии Клини-Мостовского (вариант: нескольких мутных статьяхбашне Маркова) лежащее. Теперь применяем аксиому выбора, сиречь рассматриваем множество наименьших (с точки зрения обычного порядка натуральных чисел, ибо при нашем подходе - привет Кронекеру - у нас любой объект в конечном итоге есть натуральное число, называйся оно хоть трижды вещественным) элементов множеств нашего параметризованного вещественными числами семейства. То, что получится в результате, будет лежать у Клини-Мостовского чуть выше - но тоже вполне досягаемо. При этом, являясь подмножеством вещественной прямой, оно будет накрываться теми же сингулярными покрытиями, что и сама эта прямая (а потому "иметь меру нуль"). Ну, и в чём был смысл нашей бурной деятельности?
С другой стороны, в конструктивистской теории меры объекты рассмотрения - вообще не суть точечные множества, и как их связать с построенным нами точечным монстром, совершенно не ясно. Сие относится и к произведению мер тоже: точечные множества там не то, чтобы сильно встречаются (это скорее похоже на тензорное произведение линейных пространств).
С уважением,
Гастрит
P.S.: В заключение - насчёт стиля. Категорически не согласен. Во-первых, есть даже такой термин - "шанинизм" :)) Я не знаю, какие конструктивистские работы попадались Вам, но, ИМХО, статьи самого Маркова зачастую более читабельны чуть не на порядок. Кроме того, тут, полагаю, есть ещё следующий момент. Когда подходу 10 лет от роду, то:
1) даже сами представители направления и даже для себя ещё толком не выяснили, что делать можно, и чего - нельзя (а потому перестраховываются по полной и пишут выкладки до буковки);
2) ещё не сложился фольклор (который позволяет заменять 100 страниц выкладок одной лёгкой фразой);
3) ещё не обкатаны разные подходы к изложению материала и не выбран оптимальный ("Матсмесь" Литлвуда не читали? Там имеются очень интересные пассажи про развитие стиля подачи как раз "классических" результатов!).
Так что "шанинизм", ИМХО - не неизбежное зло, а болезнь роста. Обходиться без него сегодня и нужно, да и возможности есть.
Reply
Reply
Насколько мне известно, нет. А кто на нынешнем мехмате это будет делать-то? :((
Reply
В 2007 был жив Хаханян. Он мог читать конструктивный и интуиционистский анализ.
В середине - конце 2010х КА иногда (не уверен, что всякий год) читал Плиско. С 2020 и дальше - не знаю, но можно посмотреть по сайту кафедры логики или ее группе в контакте.
Reply
С уважением,
Гастрит
Reply
И один конкретный вопрос (глупый, наверное). Построили мы конструктивную меру. Возьмём набор интервалов из примера Заславского, у него мера меньше 1/2^n. Почему отсюда не следует, что и мера покрытого ими отрезка [0,1] меньше 1/2^n? В "классике", насколько я помню, если подмножество измеримо, то его мера меньше меры объемлющего множества. Есть ли аналог в конструктивной теории для понятия подмножества и для этого утверждения?
И наконец. А Вы читаете кому-нибудь какой-нибудь спецкурс про конструктивизм? Если нет, то почему?
Reply
Теперь про "классику". Там есть интересное понятие, именуемое сигма-аддитивностью меры. Если таковой нет, то мера бесконечного объединения попарно непересекающихся множеств не обязана совпадать с суммой ряда (классический пример: мера на отрезках в $\mathbb Q$ вместо $\mathbb R$). В конструктивную же математику сигма-аддитивность никаким образом не перетаскивается. Поэтому мы изначально меняем всю идеологию: мы отказываемся от "точечной" трактовки измеримых множеств - они суть элементы некоторого метрического пространства, и не более того.
Спецкурсов не читаю, ибо нахожусь в переходном состоянии. Как будет более-менее чёткий статус - посмотрим.
С уважением,
Гастрит
Reply
Пока всё, видимо.
Спасибо за ликбез.
Reply
Leave a comment