Посвящается мерам - лебеговским и превентивным
Итак, концерт по заявкам объявляю открытым.
1. Поскольку дальнейшее будет в значительной степени вертеться вокруг понятия вещественного числа - с него, во избежание неясностей, и начну.
Как ни определяй вещественные числа в рамках "классической" математики, а сразу же упрёшься в представление о множестве во всей его печальной "общности". Это касается уже пресловутой "мощности континуума" (вызывавшей вопросы даже у таких в общем благосклонно к теории множеств настроенных математиков, как Борель). Вещественное число есть сечение множества рациональных чисел, образованное произвольными (!) верхним и нижним классами - так, да? А что такое эти самые произвольные классы - если, конечно отрешиться от представления о "существовании" множеств в никем не виданном идеальном мире? Как их "пощупать", как проверить, действительно ли они обладают теми свойствами, которые мы приписали им в теории - раз все имеющиеся у нас средства позволяют эффективно оперировать лишь с подмножествами счётных множеств? Ответ неясен. Остаётся либо махнуть рукой на все эти вопросы и начать строчить принципиально непроверяемые теоремы в рамках разного рода формальных теорий, либо попытаться как-то дополнительно уточнить понятие вещественного числа (возможно, в ущерб ряду приобретших прочность предрассудка представлений анализа).
Лично я, как известно, выбираю последнее. Исхожу я при этом из того исторического факта, что понятие вещественного числа возникло как абстракция процедуры измерения (в ходе которой мы эффективно определяем границы измеряемого параметра), получаемая в результате отвлечения от "границ погрешности", т.е. в результате предположения, что такие "границы" могут быть сделаны произвольно малыми. Соответственно, вещественное число - это математический (т.е. конструктивный, т.к. других в математике нет) объект, для которого могут быть эффективно определены сколь угодно "точные" верхняя и нижняя "рациональные оценки". Или, что то же самое, для которого множества "меньших" и "бОльших" рациональных чисел перечислимы. В частности, пары таких множеств ("конструктивное дедекиндово сечение") могут рассматриваться в качестве стандартизованного варианта понятия вещественного числа в конструктивной математике.
2. Следующим пунктом программы является вопрос об интервальных покрытиях множеств вещественных чисел. Тут, в принципе, всё ясно: система множеств \(S\) является покрытием множества \(M\) в том и только том случае, когда для любого элемента \(X\in M\) можно указать элемент \(L\in S\) со свойством \(X\in L\). Однако изначально декларированное отсутствие среди вещественных чисел сусликов (которых не видно, но они есть), вносит в ситуацию некоторые коррективы:
Теорема (Заславский, Цейтин; 1962). Пусть \(n\) - произвольное натуральное число. Тогда потенциально осуществимо перечислимое множество интервалов \(S\), являющееся покрытием множества вещественных чисел \(\mathbb R\) и такое, что суммарная длина любого конечного набора интервалов из \(S\) меньше, чем \(2^{-n}\).
Доказательство просто, аки апельсин. Зафиксируем некоторую нумерацию пар перечислимых множеств (если определять это понятие синтаксически и не требовать отождествления равнообъёмных множеств, то такая нумерация вполне возможна). Построим алгорифм \(A\), сопоставляющий произвольному натуральному числу \(k\) такое целое число \(Z\), что \(Z/2^{n+k+1}\) принадлежит первому множеству из \(k\)-ой пары, а число \((Z+1)/2^{n+k+1}\) - второму (при этом предполагается, что если чисел с требуемым свойством нет в принципе, то алгорифм "виснет"). Это тоже тривиально. Остаётся лишь рассмотреть в качестве \(S\) множество интервалов вида \((A(k)/2^{n+k+1}, [A(k)+1]/2^{n+k+1})\): суммарная длина любого набора интервалов из этой системы с очевидностью меньше \(2^{-n}\), и при этом любое вещественное число входит по меньшей мере в один из интервалов системы.
3. В этом месте начинается плавный переход к вопросу о "мере множества". В ходе предыдущей серии вещественная прямая покрылась последовательностью интервалов со сколь угодно малой оценкой сумм длин, и без апелляции к (якобы оставшимися непокрытыми) сусликам с этим фактом не поспоришь. Т.е. мера Лебега прямой приравнялась нулю, как детерминант в умелых руках братьев-векторов из известной сказки. Что теперь делать?
А делать вот что.
Во-первых, отправить в мусорную корзину все те разделы теории меры, которые действительно связаны с представлением об "измеримых множествах" как о множествах точечных. Это, в частности, учение о "свойствах, имеющих место почти всюду". Сия вивисекционистская процедура облегчается тем обстоятельством, что упомянутые разделы и так являются маргинальными и интересуют только профессиональных разработчиков ТФДП (см. интересный диалог Никольского с Келдышем на стр. 92 мемуаров первого).
Во-вторых, вспомнить то обстоятельство, что на деле "измеримые множества" мы даже в "классической" теории рассматриваем обычно с точностью до эквивалентности (т.е. отнюдь не как точечные - что это за точечное множество, в котором любой конкретный элемент можно поменять, и по сути ничего не изменится?). И что нужна нам, собственно, абстрактная булева алгебра (элементы коей не обязаны быть множествами, да обычно и не являются таковыми), на которой дополнительно определена норма (aka мера) - т.е. неотрицательный функционал \(p\) со свойствами \(p(0)=0\) и \(p(x\cup y)+p(x\cap y)=p(x)+p(y)\). С нормой \(p\) - как зачастую делается даже в обычных курсах теории меры - связывается функция расстояния \(p(x\cap Cy)+p(y\cap Cx)\). Относительно этой метрики булевы операции являются липшицевыми, а потому допускают продолжение по непрерывности на пополнение. Ровно это и есть пресловутое "лебегово продолжение меры", если снять с сей тривиальной процедуры обычный ТФДПшный туман.
И короче. И яснее. И читателю не так противно (c) И.Ильф и Е.Петров.
1. Поскольку дальнейшее будет в значительной степени вертеться вокруг понятия вещественного числа - с него, во избежание неясностей, и начну.
Как ни определяй вещественные числа в рамках "классической" математики, а сразу же упрёшься в представление о множестве во всей его печальной "общности". Это касается уже пресловутой "мощности континуума" (вызывавшей вопросы даже у таких в общем благосклонно к теории множеств настроенных математиков, как Борель). Вещественное число есть сечение множества рациональных чисел, образованное произвольными (!) верхним и нижним классами - так, да? А что такое эти самые произвольные классы - если, конечно отрешиться от представления о "существовании" множеств в никем не виданном идеальном мире? Как их "пощупать", как проверить, действительно ли они обладают теми свойствами, которые мы приписали им в теории - раз все имеющиеся у нас средства позволяют эффективно оперировать лишь с подмножествами счётных множеств? Ответ неясен. Остаётся либо махнуть рукой на все эти вопросы и начать строчить принципиально непроверяемые теоремы в рамках разного рода формальных теорий, либо попытаться как-то дополнительно уточнить понятие вещественного числа (возможно, в ущерб ряду приобретших прочность предрассудка представлений анализа).
Лично я, как известно, выбираю последнее. Исхожу я при этом из того исторического факта, что понятие вещественного числа возникло как абстракция процедуры измерения (в ходе которой мы эффективно определяем границы измеряемого параметра), получаемая в результате отвлечения от "границ погрешности", т.е. в результате предположения, что такие "границы" могут быть сделаны произвольно малыми. Соответственно, вещественное число - это математический (т.е. конструктивный, т.к. других в математике нет) объект, для которого могут быть эффективно определены сколь угодно "точные" верхняя и нижняя "рациональные оценки". Или, что то же самое, для которого множества "меньших" и "бОльших" рациональных чисел перечислимы. В частности, пары таких множеств ("конструктивное дедекиндово сечение") могут рассматриваться в качестве стандартизованного варианта понятия вещественного числа в конструктивной математике.
2. Следующим пунктом программы является вопрос об интервальных покрытиях множеств вещественных чисел. Тут, в принципе, всё ясно: система множеств \(S\) является покрытием множества \(M\) в том и только том случае, когда для любого элемента \(X\in M\) можно указать элемент \(L\in S\) со свойством \(X\in L\). Однако изначально декларированное отсутствие среди вещественных чисел сусликов (которых не видно, но они есть), вносит в ситуацию некоторые коррективы:
Теорема (Заславский, Цейтин; 1962). Пусть \(n\) - произвольное натуральное число. Тогда потенциально осуществимо перечислимое множество интервалов \(S\), являющееся покрытием множества вещественных чисел \(\mathbb R\) и такое, что суммарная длина любого конечного набора интервалов из \(S\) меньше, чем \(2^{-n}\).
Доказательство просто, аки апельсин. Зафиксируем некоторую нумерацию пар перечислимых множеств (если определять это понятие синтаксически и не требовать отождествления равнообъёмных множеств, то такая нумерация вполне возможна). Построим алгорифм \(A\), сопоставляющий произвольному натуральному числу \(k\) такое целое число \(Z\), что \(Z/2^{n+k+1}\) принадлежит первому множеству из \(k\)-ой пары, а число \((Z+1)/2^{n+k+1}\) - второму (при этом предполагается, что если чисел с требуемым свойством нет в принципе, то алгорифм "виснет"). Это тоже тривиально. Остаётся лишь рассмотреть в качестве \(S\) множество интервалов вида \((A(k)/2^{n+k+1}, [A(k)+1]/2^{n+k+1})\): суммарная длина любого набора интервалов из этой системы с очевидностью меньше \(2^{-n}\), и при этом любое вещественное число входит по меньшей мере в один из интервалов системы.
3. В этом месте начинается плавный переход к вопросу о "мере множества". В ходе предыдущей серии вещественная прямая покрылась последовательностью интервалов со сколь угодно малой оценкой сумм длин, и без апелляции к (якобы оставшимися непокрытыми) сусликам с этим фактом не поспоришь. Т.е. мера Лебега прямой приравнялась нулю, как детерминант в умелых руках братьев-векторов из известной сказки. Что теперь делать?
А делать вот что.
Во-первых, отправить в мусорную корзину все те разделы теории меры, которые действительно связаны с представлением об "измеримых множествах" как о множествах точечных. Это, в частности, учение о "свойствах, имеющих место почти всюду". Сия вивисекционистская процедура облегчается тем обстоятельством, что упомянутые разделы и так являются маргинальными и интересуют только профессиональных разработчиков ТФДП (см. интересный диалог Никольского с Келдышем на стр. 92 мемуаров первого).
Во-вторых, вспомнить то обстоятельство, что на деле "измеримые множества" мы даже в "классической" теории рассматриваем обычно с точностью до эквивалентности (т.е. отнюдь не как точечные - что это за точечное множество, в котором любой конкретный элемент можно поменять, и по сути ничего не изменится?). И что нужна нам, собственно, абстрактная булева алгебра (элементы коей не обязаны быть множествами, да обычно и не являются таковыми), на которой дополнительно определена норма (aka мера) - т.е. неотрицательный функционал \(p\) со свойствами \(p(0)=0\) и \(p(x\cup y)+p(x\cap y)=p(x)+p(y)\). С нормой \(p\) - как зачастую делается даже в обычных курсах теории меры - связывается функция расстояния \(p(x\cap Cy)+p(y\cap Cx)\). Относительно этой метрики булевы операции являются липшицевыми, а потому допускают продолжение по непрерывности на пополнение. Ровно это и есть пресловутое "лебегово продолжение меры", если снять с сей тривиальной процедуры обычный ТФДПшный туман.
И короче. И яснее. И читателю не так противно (c) И.Ильф и Е.Петров.