Параметрическое квадратное уравнение из школы
Приехала М., у неё экзамены в украинской школе, их можно сдавать в Париже. Перед экзаменами решила немного надышаться позаниматься математикой. И в одной из задач я наткнулся на прекрасную багу у себя в голове, немного напомнившую мне старый пост о том, что бывает, когда начинаешь думать взрослыми мозгами над детской задачей.
Задача: при каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 - 8x + 4a - 1 = 0 будет равняться 38.
Понятно, «что имел в виду автор»: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2. Поскольку мы знаем (М. уверенно процитировала «Теорему Виета», о которой я помнил только название и содержание, но не связь между ними), что у квадратного уравнения x2 - bx + c = 0 сумма корней равняется b, а их произведение = c, то мы сразу можем продолжить: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = b2 - 2c = 82 - 2(4a - 1) = 38. Откуда следует 8a = 28, то есть a = 3,5.
М. начала решать задачу не так. Она взяла первое уравнение Виета: x1 + x2 = 8, вместе с x12 + x22 = 38 составила систему уравнений и начала её решать. А я завис. Потому что в системе уравнений нет a. Мы сейчас найдём ответ: x1 и x2. Но там не будет a!
Завис где-то на минуту. За это время М. решила систему уравнений: x1 = 4 + √3, x2 = 4 - √3 и зависла, потому что задачу нужно сдавать на компьютере, а как ввести «квадратный корень» в поле «ответ», она не понимала. А я наоборот отвис. Потому что понял, в чём фишка: зная корни, нужно восстановить последний член квадратного уравнения, который должен быть равен произведению корней: x1x2 = 16 - 3 = 13 = 4a - 1, то есть a = 3,5 - уфф, сходится!
Задача: при каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 - 8x + 4a - 1 = 0 будет равняться 38.
Понятно, «что имел в виду автор»: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2. Поскольку мы знаем (М. уверенно процитировала «Теорему Виета», о которой я помнил только название и содержание, но не связь между ними), что у квадратного уравнения x2 - bx + c = 0 сумма корней равняется b, а их произведение = c, то мы сразу можем продолжить: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = b2 - 2c = 82 - 2(4a - 1) = 38. Откуда следует 8a = 28, то есть a = 3,5.
М. начала решать задачу не так. Она взяла первое уравнение Виета: x1 + x2 = 8, вместе с x12 + x22 = 38 составила систему уравнений и начала её решать. А я завис. Потому что в системе уравнений нет a. Мы сейчас найдём ответ: x1 и x2. Но там не будет a!
Завис где-то на минуту. За это время М. решила систему уравнений: x1 = 4 + √3, x2 = 4 - √3 и зависла, потому что задачу нужно сдавать на компьютере, а как ввести «квадратный корень» в поле «ответ», она не понимала. А я наоборот отвис. Потому что понял, в чём фишка: зная корни, нужно восстановить последний член квадратного уравнения, который должен быть равен произведению корней: x1x2 = 16 - 3 = 13 = 4a - 1, то есть a = 3,5 - уфф, сходится!