the name of the game - истинное положение дел; желаемое положение дел; самое главное, суть; цель.

The name of the game is...    - речь идёт о ...
The name of the game is trust - все дело в доверии
In fishing, patience is the name of the game - на рыбалке самое главное - терпение

Мне захотелось собрать разные английские идиомы, описывающие степень знакомства, близости и т.д.

То, что вспомнилось:

nodding acquaintance - шапочное знакомство

on first name terms/basis - на "ты" (то есть называя друг друга по имени, а не по фамилии, что, считайте, аналог нашего по имени-отчеству). Например, He may be on first name terms with ( Read more... )

Клин клином вышибают.

попасть в точку