Числа и Ахилл
Оригинал взят у a_gorb в post
В дополнение к недавнему обсуждение апорий Зенона. В частности, заинтересовался вопросом: « Ну что мешает греку понять, что если он возьмет какой-то интервал времени и разделит его на два, половину на половину и так далее, то сумма всех полученных отрезков не превысит длительности самого отрезка, как бы мы долго не продолжали деление. И тут совсем не надо иметь представление об актуальной бесконечности - просто наглядное деление.»
Начнем с Хронологии
Пифагор Самосский (570-490 до н.э.) и его школа - теория целых и рациональных чисел
Зенон Элейский (490-430 до н.э.) - парадоксы бесконечного и непрерывного
Демокри́т Абдерский (460-370 до н.э.) - отказ от непрерывной делимости
Феодор Киренский (430-390 до н.э.) - доказательства иррациональности для ряда случаев
Теэтет Афинский (420-369 до н.э.) - исследование несоизмеримости, иррациональные числа
Евдокс Книдский (406-355 до н.э.) - общая теория отношений, метод исчерпывания
Евклид (325-265 до н.э.) - свод математических знаний
Архимед (287-212 до н.э.) - широкое применение метода исчерпывания
Ньютон (1642-1727 до н.э.) и др. - математический анализ, теория рядов
Коши (1789-1857 до н.э.) и др. - предел, непрерывность
Больцано, Дедекинд и др. (XIX век) - теория действительных чисел, континуум
Древние греки в лице Пифагора и его школы за числа считали только целые числа и их отношения, т.е. рациональные числа. Однако, уже внутри пифагорейской школы возникало понимание того, что не всякое отношение двух величин может быть выражено отношением двух чисел. Весьма вероятно, что пифагорейцами было доказано, что sqrt(2) является иррациональным числом, т.е. не может быт представлено как отношение целых чисел. «Открытие несоизмеримости отрезков явилось поворотным пунктом в развитии математики. … Значение этого открытия можно, пожалуй, сравнить только с открытием неевклидовой геометрии или теорией относительности» [История математики. (В 3-х томах) Под ред. А.П. Юшкевича Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.] Аристотель гораздо позже писал, что «вызывает удивление, если что-нибудь нельзя измерить самою малою мерою». [А.П.Юшкевич]
Однако древним грекам не удалось расширить понятие числа, поэтому они разработали теорию величин на основе геометрических построений. Сложение величин изображалось, например, как сложение отрезков, а произведение двух величин рассматривалось как построение на них прямоугольника.
«Вместе с открытием несоизмеримых величин в математику вошло понятие бесконечного. … дело шло уже об изучении свойств самих бесконечных множеств и об исследовании бесконечных последовательностей. К этим вопросам приводили две основные проблемы - … проблема действительного числа и проблема меры. … Трудности, связанные с понятиями бесконечного и непрерывного, привели к глубокому кризису основ античной математики.» [А.П.Юшкевич]
Одновременно происходило развитие логического аппарата. «Тон философских сочинений этой эпохи резко меняется. В VII и VI вв. философы еще только утверждают или прорицают (и лишь в некоторых случаях приводят туманные доводы, основанные на не менее туманных аналогиях). Начиная с Парменида и особенно Зенона, они уже аргументируют, пытаясь выделить общие положения, чтобы положить их в основу своей
диалектики; именно у Парменида мы впервые находим формулировку принципа исключенного третьего, а доказательства Зенона Элейского путем приведения к абсурду знамениты и сейчас.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики] (Отмечу, что я присоединяюсь к мнению, что апории Зенона по существу являются доказательствами от противного.)
Зенон своими апориями как раз и продемонстрировал те логические трудности, которые содержаться в понятиях бесконечного и непрерывного. Эти трудности породили массу споров и различных попыток найти решение возникшим проблемам. Протагор вообще предложил отказаться от математических абстракций и считал, что нельзя говорить о линиях без толщины и точках, не имеющих размеров, т.к. никто никогда таких линий и точек не видел. Отмечу, что и спустя 2,5 тыс. лет встречается такой способ «разрешения» апорий Зенона, сводящийся к тому, что в реальности все имеет некий размер, а значит рассматривать более мелкие размеры не имеет смысла. Демокрит в общем то предложил аналогичное решение, считая что все состоит из атомов, которые имеют хоть и очень маленький, но конечный размер. К счастью, математика такими решениями не воспользовалась. Следует еще раз подчеркнуть, что математиков интересуют именно логическая стройность построений, а не просто практическая применимость. На практике, разумеется, часто вполне можно считать, что нет смысла рассматривать отрезки пути много меньшие, например, шага черепахи, или атома Демокрита. Однако, это не является строгим логически решением математических проблем, содержащихся в апориях Зенона. Выскажу гипотезу, что атомистика Демокрита была капитуляцией перед проблемами бесконечного и непрерывного, раз мы не можем решить задачу, то объявим, что природа сама устроена так, что задача становиться бессмысленной. Такое «решение» апорий встречается и по сей день.
Новые основы математики были созданы Евдоксом Книдским. Он разработал общую теорию отношений и строгий метод предельных переходов. По Евдоксу понятие величины включает как числа, так и непрерывные величины: длины отрезков, объемы, площади и т.п. Евдокс вводит аксиому, которая потом получила почему-то имя Архимеда: величины имеют отношение меду собой, если они взятые кратно, могут превзойти друг друга. (Например, если один шаг Ахилла больше одного шага черепахи и в то же время, 200 шагов черепахи дольше одного шага Ахилла, то значит эти шаги соизмеримы и можно ввести между ними отношение.) Евдокс разрабатывает логически безупречную теорию отношений величин, которой человечество потом с успехом пользуется более двух тысячелетий. Однако, в теории Евдокса был недостаток, у него отсутствовала аксиома непрерывности, эти вопросы математика смогла решить только в XIX веке.
Втором громадным достижением Евдокса была разработка так называемого метода исчерпывания. В основе метода лежит следующее положение, доказываемое на основе аксиомы Архимеда: если из некой величины вычесть больше ее половины, а из полученного остатка опять больше его половины и т.д., то через конечное число шагов остаток будет меньше любой наперед заданной величины. (Правда, тут сразу видна аналогия с апориями Зенона?:)) Метод исчерпывания позволяет находить пределы различных последовательностей. А строя определенные последовательности, находить логически строгие решения различных задач, как, например площадей и объемов сложных фигур. Этим методом Евдокс доказал теоремы об объемах пирамиды и конуса. Формулы для этих объемов были найдены еще Демокритом, однако он не смог дать им строгого доказательства. Особенно в древности преуспел в применении этого метода Архимед. Метод исчерпывания по существу является теорией пределов древних греков. Однако, они подошли вплотную к понятию предела, но не смогли это понятие в явном виде сформулировать, логически строгая теория пределов была создана только в начале XIX века. (Тут еще следует отметить, что метод исчерпывания является логически строгим методом решения задач, но часто достаточно громоздким. Когда в XVII-XVIII веках возникает и развивается анализ бесконечно малых, то пораженные результативностью новых методов математики временно оставили в стороне логическую стройность, к которой всегда стремились древние греки. Но это не было отступлением, а скорее кавалерийской атакой, придание логической строгости оставили на потом.)
Но Евдокс жил заметно позже Зенона. А во времена Зенона не было возможности логически строго сформулировать и решить проблемы бесконечной делимости, непрерывности и т.п. Соответствующие логические построения были разработаны только в XIX веке. Заслуга Зенона заключается в том, что он, придав своим логическим построениям наглядность и образность, тем самым привлек внимание к проблеме бесконечного и непрерывного.
Приведу еще такой условный пример, иллюстрирующий, что тут нужна именно строгая логика, а не наглядность. Нарисуем последовательность положений Ахилла:
Точки на отрезке постепенно сгущаются и наглядно видно, что сумма таких уменьшающихся отрезков приведет к конечному отрезку.
Но давайте рассмотрим такой пример. Возьмем квадрат, пусть длины его сторон равны 1, рассмотрим диагональ этого квадрата (нарисовано зеленым). Построим на диагонали квадрата «лесенку» (ломаную линию) (нарисовано красным). Легко видеть, что длина лесенки равна 2. Уменьшим шаг «лесенки». Очевидно, ее длина при любом уменьшении шага не изменяется. Сделаем шаг лесенки очень-очень маленьким, а лучше бесконечно маленьким. Наглядно видно, что при этом лесенка совпадет с диагональю. Вывод - длина диагонали равна 2.
Уууу, скажет пытливый читатель, но ведь если увеличить эту лесенку, то ломаная как была далека от диагонали, то так и осталась:
Это так, но если «посмотреть через лупу» на положения Ахилла, то тоже сразу видно, что эти точки не достигают конца и также относительно далеки от него, как и были:
Вот так. Так, что тут требуется доказательство, а не просто наглядность. А древние греки с почтением относились к логике, и особенно к логике в математике.
Офф/2. И в дополнение, правда, не имеющем прямого отношения к обсуждаемому вопросу, не могу удержаться и не привести эту цитату:
«Труды Аристотеля и его преемников, по-видимому, не оказали заметного влияния на математику. Греческие математики в своих исследованиях шли по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями в IV в. (Теодором, Теэтетом, Евдоксом), и мало интересовались формальной логикой при изложении своих результатов. Это не должно вызывать удивления; достаточно сравнить гибкость и точность изложения математических рассуждений, которое имело место начиная с этого периода, с весьма рудиментарным состоянием аристотелевой логики.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики]
Вот так. Так, что тут требуется доказательство, а не просто наглядность. А древние греки с почтением относились к логике, и особенно к логике в математике.
Офф/2. И в дополнение, правда, не имеющем прямого отношения к обсуждаемому вопросу, не могу удержаться и не привести эту цитату:
«Труды Аристотеля и его преемников, по-видимому, не оказали заметного влияния на математику. Греческие математики в своих исследованиях шли по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями в IV в. (Теодором, Теэтетом, Евдоксом), и мало интересовались формальной логикой при изложении своих результатов. Это не должно вызывать удивления; достаточно сравнить гибкость и точность изложения математических рассуждений, которое имело место начиная с этого периода, с весьма рудиментарным состоянием аристотелевой логики.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики]
______________________________________________
числа суть структуры порядка.
и таких структур только три рода:
- следования; - соположения; - подчинения.
сама логика подчинена этим структурам....
и тут вопрос:
- каждой точке континуума соотв. утверждение или акт ее выделения.
но представляет ли собой множество всех таких утверждений-актов континуум?
сущностное отличие рационального от иррационального:
если рациональное имеет некоторыми средствами конечное представление,
т.е. полностью определяется ими,
то иррациональное теми же средствами представляется бесконечно,
т.е. представление иррацмионального всегда не полно для данных средств.
и представление иррационального никогда не завершено - его порядок всегда не полон
и нет средств, полных и при этом позволяющих избежать иррационального.
________________________________________________________________________
вообще-то все забыли а зачем все это придумал Зенон.
да чтобы продемонстрировать "четыре истины Парменида":
- бытие тождественно сознанию;
- бытие есть а небытия нет;
- единое есть а многого нет;
- покой есть а движения нет.
довольно сильно напоминает буддизм, а стиль рассуждений близок
стилю Нагарджуны при доказательстве пустотности всех дхарм
и иллюзорности мира
вне "этих истин" рассуждать об апориях Зенона бессмысленно.
но все опровержения строятся на признании как раз противоположного:
- многое есть (точек, отрезков, бегунов и т.д );
- движение есть (как следствие многого).
и в рассуждении Зенона черепаха в самом деле всегда будет впереди Ахилла,
поскольку сам же Зенон в своем рассуждении не дает настать моменту
настижения Ахиллом черепахи, скрыто (ибо не замечает) и
последовательно уменьшая временные интервалы .
тут психология, а не логика
В дополнение к недавнему обсуждение апорий Зенона. В частности, заинтересовался вопросом: « Ну что мешает греку понять, что если он возьмет какой-то интервал времени и разделит его на два, половину на половину и так далее, то сумма всех полученных отрезков не превысит длительности самого отрезка, как бы мы долго не продолжали деление. И тут совсем не надо иметь представление об актуальной бесконечности - просто наглядное деление.»
Начнем с Хронологии
Пифагор Самосский (570-490 до н.э.) и его школа - теория целых и рациональных чисел
Зенон Элейский (490-430 до н.э.) - парадоксы бесконечного и непрерывного
Демокри́т Абдерский (460-370 до н.э.) - отказ от непрерывной делимости
Феодор Киренский (430-390 до н.э.) - доказательства иррациональности для ряда случаев
Теэтет Афинский (420-369 до н.э.) - исследование несоизмеримости, иррациональные числа
Евдокс Книдский (406-355 до н.э.) - общая теория отношений, метод исчерпывания
Евклид (325-265 до н.э.) - свод математических знаний
Архимед (287-212 до н.э.) - широкое применение метода исчерпывания
Ньютон (1642-1727 до н.э.) и др. - математический анализ, теория рядов
Коши (1789-1857 до н.э.) и др. - предел, непрерывность
Больцано, Дедекинд и др. (XIX век) - теория действительных чисел, континуум
Древние греки в лице Пифагора и его школы за числа считали только целые числа и их отношения, т.е. рациональные числа. Однако, уже внутри пифагорейской школы возникало понимание того, что не всякое отношение двух величин может быть выражено отношением двух чисел. Весьма вероятно, что пифагорейцами было доказано, что sqrt(2) является иррациональным числом, т.е. не может быт представлено как отношение целых чисел. «Открытие несоизмеримости отрезков явилось поворотным пунктом в развитии математики. … Значение этого открытия можно, пожалуй, сравнить только с открытием неевклидовой геометрии или теорией относительности» [История математики. (В 3-х томах) Под ред. А.П. Юшкевича Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.] Аристотель гораздо позже писал, что «вызывает удивление, если что-нибудь нельзя измерить самою малою мерою». [А.П.Юшкевич]
Однако древним грекам не удалось расширить понятие числа, поэтому они разработали теорию величин на основе геометрических построений. Сложение величин изображалось, например, как сложение отрезков, а произведение двух величин рассматривалось как построение на них прямоугольника.
«Вместе с открытием несоизмеримых величин в математику вошло понятие бесконечного. … дело шло уже об изучении свойств самих бесконечных множеств и об исследовании бесконечных последовательностей. К этим вопросам приводили две основные проблемы - … проблема действительного числа и проблема меры. … Трудности, связанные с понятиями бесконечного и непрерывного, привели к глубокому кризису основ античной математики.» [А.П.Юшкевич]
Одновременно происходило развитие логического аппарата. «Тон философских сочинений этой эпохи резко меняется. В VII и VI вв. философы еще только утверждают или прорицают (и лишь в некоторых случаях приводят туманные доводы, основанные на не менее туманных аналогиях). Начиная с Парменида и особенно Зенона, они уже аргументируют, пытаясь выделить общие положения, чтобы положить их в основу своей
диалектики; именно у Парменида мы впервые находим формулировку принципа исключенного третьего, а доказательства Зенона Элейского путем приведения к абсурду знамениты и сейчас.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики] (Отмечу, что я присоединяюсь к мнению, что апории Зенона по существу являются доказательствами от противного.)
Зенон своими апориями как раз и продемонстрировал те логические трудности, которые содержаться в понятиях бесконечного и непрерывного. Эти трудности породили массу споров и различных попыток найти решение возникшим проблемам. Протагор вообще предложил отказаться от математических абстракций и считал, что нельзя говорить о линиях без толщины и точках, не имеющих размеров, т.к. никто никогда таких линий и точек не видел. Отмечу, что и спустя 2,5 тыс. лет встречается такой способ «разрешения» апорий Зенона, сводящийся к тому, что в реальности все имеет некий размер, а значит рассматривать более мелкие размеры не имеет смысла. Демокрит в общем то предложил аналогичное решение, считая что все состоит из атомов, которые имеют хоть и очень маленький, но конечный размер. К счастью, математика такими решениями не воспользовалась. Следует еще раз подчеркнуть, что математиков интересуют именно логическая стройность построений, а не просто практическая применимость. На практике, разумеется, часто вполне можно считать, что нет смысла рассматривать отрезки пути много меньшие, например, шага черепахи, или атома Демокрита. Однако, это не является строгим логически решением математических проблем, содержащихся в апориях Зенона. Выскажу гипотезу, что атомистика Демокрита была капитуляцией перед проблемами бесконечного и непрерывного, раз мы не можем решить задачу, то объявим, что природа сама устроена так, что задача становиться бессмысленной. Такое «решение» апорий встречается и по сей день.
Новые основы математики были созданы Евдоксом Книдским. Он разработал общую теорию отношений и строгий метод предельных переходов. По Евдоксу понятие величины включает как числа, так и непрерывные величины: длины отрезков, объемы, площади и т.п. Евдокс вводит аксиому, которая потом получила почему-то имя Архимеда: величины имеют отношение меду собой, если они взятые кратно, могут превзойти друг друга. (Например, если один шаг Ахилла больше одного шага черепахи и в то же время, 200 шагов черепахи дольше одного шага Ахилла, то значит эти шаги соизмеримы и можно ввести между ними отношение.) Евдокс разрабатывает логически безупречную теорию отношений величин, которой человечество потом с успехом пользуется более двух тысячелетий. Однако, в теории Евдокса был недостаток, у него отсутствовала аксиома непрерывности, эти вопросы математика смогла решить только в XIX веке.
Втором громадным достижением Евдокса была разработка так называемого метода исчерпывания. В основе метода лежит следующее положение, доказываемое на основе аксиомы Архимеда: если из некой величины вычесть больше ее половины, а из полученного остатка опять больше его половины и т.д., то через конечное число шагов остаток будет меньше любой наперед заданной величины. (Правда, тут сразу видна аналогия с апориями Зенона?:)) Метод исчерпывания позволяет находить пределы различных последовательностей. А строя определенные последовательности, находить логически строгие решения различных задач, как, например площадей и объемов сложных фигур. Этим методом Евдокс доказал теоремы об объемах пирамиды и конуса. Формулы для этих объемов были найдены еще Демокритом, однако он не смог дать им строгого доказательства. Особенно в древности преуспел в применении этого метода Архимед. Метод исчерпывания по существу является теорией пределов древних греков. Однако, они подошли вплотную к понятию предела, но не смогли это понятие в явном виде сформулировать, логически строгая теория пределов была создана только в начале XIX века. (Тут еще следует отметить, что метод исчерпывания является логически строгим методом решения задач, но часто достаточно громоздким. Когда в XVII-XVIII веках возникает и развивается анализ бесконечно малых, то пораженные результативностью новых методов математики временно оставили в стороне логическую стройность, к которой всегда стремились древние греки. Но это не было отступлением, а скорее кавалерийской атакой, придание логической строгости оставили на потом.)
Но Евдокс жил заметно позже Зенона. А во времена Зенона не было возможности логически строго сформулировать и решить проблемы бесконечной делимости, непрерывности и т.п. Соответствующие логические построения были разработаны только в XIX веке. Заслуга Зенона заключается в том, что он, придав своим логическим построениям наглядность и образность, тем самым привлек внимание к проблеме бесконечного и непрерывного.
Приведу еще такой условный пример, иллюстрирующий, что тут нужна именно строгая логика, а не наглядность. Нарисуем последовательность положений Ахилла:
Точки на отрезке постепенно сгущаются и наглядно видно, что сумма таких уменьшающихся отрезков приведет к конечному отрезку.
Но давайте рассмотрим такой пример. Возьмем квадрат, пусть длины его сторон равны 1, рассмотрим диагональ этого квадрата (нарисовано зеленым). Построим на диагонали квадрата «лесенку» (ломаную линию) (нарисовано красным). Легко видеть, что длина лесенки равна 2. Уменьшим шаг «лесенки». Очевидно, ее длина при любом уменьшении шага не изменяется. Сделаем шаг лесенки очень-очень маленьким, а лучше бесконечно маленьким. Наглядно видно, что при этом лесенка совпадет с диагональю. Вывод - длина диагонали равна 2.
Уууу, скажет пытливый читатель, но ведь если увеличить эту лесенку, то ломаная как была далека от диагонали, то так и осталась:
Это так, но если «посмотреть через лупу» на положения Ахилла, то тоже сразу видно, что эти точки не достигают конца и также относительно далеки от него, как и были:
Вот так. Так, что тут требуется доказательство, а не просто наглядность. А древние греки с почтением относились к логике, и особенно к логике в математике.
Офф/2. И в дополнение, правда, не имеющем прямого отношения к обсуждаемому вопросу, не могу удержаться и не привести эту цитату:
«Труды Аристотеля и его преемников, по-видимому, не оказали заметного влияния на математику. Греческие математики в своих исследованиях шли по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями в IV в. (Теодором, Теэтетом, Евдоксом), и мало интересовались формальной логикой при изложении своих результатов. Это не должно вызывать удивления; достаточно сравнить гибкость и точность изложения математических рассуждений, которое имело место начиная с этого периода, с весьма рудиментарным состоянием аристотелевой логики.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики]
Вот так. Так, что тут требуется доказательство, а не просто наглядность. А древние греки с почтением относились к логике, и особенно к логике в математике.
Офф/2. И в дополнение, правда, не имеющем прямого отношения к обсуждаемому вопросу, не могу удержаться и не привести эту цитату:
«Труды Аристотеля и его преемников, по-видимому, не оказали заметного влияния на математику. Греческие математики в своих исследованиях шли по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями в IV в. (Теодором, Теэтетом, Евдоксом), и мало интересовались формальной логикой при изложении своих результатов. Это не должно вызывать удивления; достаточно сравнить гибкость и точность изложения математических рассуждений, которое имело место начиная с этого периода, с весьма рудиментарным состоянием аристотелевой логики.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики]
______________________________________________
числа суть структуры порядка.
и таких структур только три рода:
- следования; - соположения; - подчинения.
сама логика подчинена этим структурам....
и тут вопрос:
- каждой точке континуума соотв. утверждение или акт ее выделения.
но представляет ли собой множество всех таких утверждений-актов континуум?
сущностное отличие рационального от иррационального:
если рациональное имеет некоторыми средствами конечное представление,
т.е. полностью определяется ими,
то иррациональное теми же средствами представляется бесконечно,
т.е. представление иррацмионального всегда не полно для данных средств.
и представление иррационального никогда не завершено - его порядок всегда не полон
и нет средств, полных и при этом позволяющих избежать иррационального.
________________________________________________________________________
вообще-то все забыли а зачем все это придумал Зенон.
да чтобы продемонстрировать "четыре истины Парменида":
- бытие тождественно сознанию;
- бытие есть а небытия нет;
- единое есть а многого нет;
- покой есть а движения нет.
довольно сильно напоминает буддизм, а стиль рассуждений близок
стилю Нагарджуны при доказательстве пустотности всех дхарм
и иллюзорности мира
вне "этих истин" рассуждать об апориях Зенона бессмысленно.
но все опровержения строятся на признании как раз противоположного:
- многое есть (точек, отрезков, бегунов и т.д );
- движение есть (как следствие многого).
и в рассуждении Зенона черепаха в самом деле всегда будет впереди Ахилла,
поскольку сам же Зенон в своем рассуждении не дает настать моменту
настижения Ахиллом черепахи, скрыто (ибо не замечает) и
последовательно уменьшая временные интервалы .
тут психология, а не логика