Голос из толпы
Представьте: Греция, Элея, площадь, Зенон и я простой слушатель в толпе. Зенон заканчивает свой рассказ апории об Ахиллесе и черепахе: ... и так далее, и так далее... до бесконечности ... вот и получается - Ахиллес никогда не догонит черепаху! Так? Толпа раскрыв рот кивает.
И тут я: постойте, мудрый, что-то я не понял, как это вы из заключения о том, что описанное вами деление будет продолжаться бесконечно, пришли к выводу о бесконечности времени бега? Да, понятно, что число промежутков времени, которые мы отмечаем на каждом "и так далее", будет бесконечным - мы никогда не остановим последовательность этих "и так далее", но разве из этого следует вывод, что сумма этих промежутков будет бесконечна, то есть будет бесконечно время от начала бега Ахиллеса до момента, когда он догонит черепаху? Ведь, мудрый, если я возьму любой промежуток времени, то смогу его делить бесконечное число раз, так? Но сколь бы долго я ни производил это деление, хоть бесконечно долго, сумма всех полученных промежуточков всегда будет конечна - равна исходному промежутку времени. Так что тут вы нас обманываете - из бесконечности делимости никак не следует бесконечность делимого.
Что мог бы ответить Зенон?
P.S. Прошу не объяснять математическую суть проблемы про делимость и непрерывность известную сейчас любому пытливому школьнику, а ответить от лица Зенона.
Update1:
Зенон: ваш аргумент про отрезок не годиться - в нем вы говорите про деление конечного отрезка времени, а в моей апории речь идет о бесконечном прибавлении.
Я: Зенон, мой пример не про деление, а именно про суммирование - он показывает, что бесконечное суммирование не всегда приводит к бесконечному результату. Давайте сравним суммирование времени при передвижении черепахи из вашей апории и суммирование частей конечного отрезка времени. На каждом этапе суммирования - после каждого "и так далее" к исходному времени (от начала бега Ахилла до достижении того места, где была черепаха) добавляется время во столько раз меньшее, во сколько скорость черепахи меньше скорости Ахилла. Пусть для простоты черепаха ползет в два раза медленнее, тогда к исходному времени прибавится его половина, на следующем этапе половина половины и так далее. Правильно я рассуждаю? А теперь возьмем отрезок времени продолжительностью в два исходных времени (время бега до точки, где была черепаха) и разделим его пополам - у нас получится исходное время. Далее разделим пополам остаток от отрезка и прибавим к исходному времени, потом разделим пополам остаток от остатка и опять прибавим и так далее. Согласитесь, что на каждом этапе суммирования и в вашей апории, и в моем примере прибавляются одинаковые отрезки времени (половина того, что было прибавлено на предыдущем этапе) - и через десять и через миллион этапов суммы будут одинаковыми. Так? И вот теперь-то от вашей апории ничего не остается - понятно, что сколько бы раз мы ни делили отрезок, а значит сколько бы раз ни прибавляли время продвижения черепахи, оно никогда не превысит удвоенное исходное время. Следовательно можно с уверенностью сказать, что черепаха останется позади через время, равное сумме исходного времени (время бега до точки, где была черепаха) плюс удвоенное время, полученное делением исходного времени на число, во сколько раз Ахилл бежит быстрее. То есть я логически строго доказал, что в вашей апории совершен неоправданный логический переход от заключения о бесконечности суммирования к утверждению, что сумма будет бесконечной.
Update2:
Зенон (с подсказки Руслана Хазарзара Апории Зенона с подачи hitthelimit): «Никогда не догонит» - не значит бесконечное течение времени, но отсутствие такой возможности в рамках данного рассуждения...
Я: Странное, конечно, заявление. Спросите у каждого кто вас сейчас слушал: как он понял ваше "никогда не догонит"? И вы получите однозначный ответ: Ахилл будет бесконечно долго бежать за черепахой. Ведь говоря "этот дождь никогда не закончится" мы подразумеваем именно бесконечное дление некоторого процесса во времени. Если же вы трактуете это "никогда" по-другому, тогда вам это и следовало особо отметить. Да, мы используем слово "никогда" и не только в смысле бесконечного дления, а как указание на невозможность некоторого события - это никогда не случится. И тут можно с вами согласиться - мы никогда не сможем с абсолютной точностью указать момент времени и точку встречи Ахилла и черепахи. В предложенной вами логике бесконечного деления времени и пространства между любыми двумя моментами времени всегда можно вставить еще моменты, а следовательно, действительно, можно утверждать, что момента под названием "Ахилл догнал черепаху" никогда не будет - мы его просто не в состоянии выделить в ряду моментов от "вот-вот еще чуть-чуть" и "уже перегнал". А оно нам надо? Главное, что мы можем указать некоторый момент, когда Ахилл еще не догнал черепаху (в точке, где раньше была черепаха на начало бега), и момент, когда она уже позади (в моем примере - удвоенное исходное время). Тем более, вас же самого не смущало то, что как невозможно точно указать момент встречи, так и невозможно зафиксировать момент достижения Ахиллом точки, где была черепаха на начало бега. Там та же проблема "бесконечного" приближения, но вы же в своем рассказе позволили Ахиллу переступить через эту проблему. Точно также он и переступит через черепаху. А проблему поиска абсолютно точного момента следует отнести к проблеме ловли блох.
Итак, заключение "никогда не догонит" в смысле бесконечного по времени бега опровергается демонстрацией конечности суммы бесконечного числа промежутков времени, то есть указанием на неизбежность существования момента, когда Ахилл будет впереди черепахи, а "никогда" трактуемое как невозможность указать с абсолютной точностью момент встречи не имеет отношения к проблеме движения, а только к нашей дотошности в измерениях. Достаточно сказать, что встреча произойдет течении такого-то промежутка времени (сейчас бы мы сказали такой-то секунды) - и никакой проблемы.
Update3
Теперь я могу суммировать и вынести вердикт: Зенон после доказательства, что между Ахиллом и черепахой всегда можно будет указать некоторое расстояние, был совершенно прав, использовав в выводе апории слово "никогда". Только он ошибся в его применении: вместо того, чтобы написать "мы никогда не сможем указать точку встречи Ахилла и черепахи" (см. Update2) или "мы никогда не закончим наши рассуждения о беге Ахиллеса" (см. Разговоры, разговоры, слово к слову тянется), сделал совершенно алогичный вывод "Ахилл никогда не догонит черепаху" (см. Update1).
Update4
Итоговый текст по апории «Ахиллес и черепаха» - Никогда не говори никогда
Спасибо всем за обсуждение проблемы.
И тут я: постойте, мудрый, что-то я не понял, как это вы из заключения о том, что описанное вами деление будет продолжаться бесконечно, пришли к выводу о бесконечности времени бега? Да, понятно, что число промежутков времени, которые мы отмечаем на каждом "и так далее", будет бесконечным - мы никогда не остановим последовательность этих "и так далее", но разве из этого следует вывод, что сумма этих промежутков будет бесконечна, то есть будет бесконечно время от начала бега Ахиллеса до момента, когда он догонит черепаху? Ведь, мудрый, если я возьму любой промежуток времени, то смогу его делить бесконечное число раз, так? Но сколь бы долго я ни производил это деление, хоть бесконечно долго, сумма всех полученных промежуточков всегда будет конечна - равна исходному промежутку времени. Так что тут вы нас обманываете - из бесконечности делимости никак не следует бесконечность делимого.
Что мог бы ответить Зенон?
P.S. Прошу не объяснять математическую суть проблемы про делимость и непрерывность известную сейчас любому пытливому школьнику, а ответить от лица Зенона.
Update1:
Зенон: ваш аргумент про отрезок не годиться - в нем вы говорите про деление конечного отрезка времени, а в моей апории речь идет о бесконечном прибавлении.
Я: Зенон, мой пример не про деление, а именно про суммирование - он показывает, что бесконечное суммирование не всегда приводит к бесконечному результату. Давайте сравним суммирование времени при передвижении черепахи из вашей апории и суммирование частей конечного отрезка времени. На каждом этапе суммирования - после каждого "и так далее" к исходному времени (от начала бега Ахилла до достижении того места, где была черепаха) добавляется время во столько раз меньшее, во сколько скорость черепахи меньше скорости Ахилла. Пусть для простоты черепаха ползет в два раза медленнее, тогда к исходному времени прибавится его половина, на следующем этапе половина половины и так далее. Правильно я рассуждаю? А теперь возьмем отрезок времени продолжительностью в два исходных времени (время бега до точки, где была черепаха) и разделим его пополам - у нас получится исходное время. Далее разделим пополам остаток от отрезка и прибавим к исходному времени, потом разделим пополам остаток от остатка и опять прибавим и так далее. Согласитесь, что на каждом этапе суммирования и в вашей апории, и в моем примере прибавляются одинаковые отрезки времени (половина того, что было прибавлено на предыдущем этапе) - и через десять и через миллион этапов суммы будут одинаковыми. Так? И вот теперь-то от вашей апории ничего не остается - понятно, что сколько бы раз мы ни делили отрезок, а значит сколько бы раз ни прибавляли время продвижения черепахи, оно никогда не превысит удвоенное исходное время. Следовательно можно с уверенностью сказать, что черепаха останется позади через время, равное сумме исходного времени (время бега до точки, где была черепаха) плюс удвоенное время, полученное делением исходного времени на число, во сколько раз Ахилл бежит быстрее. То есть я логически строго доказал, что в вашей апории совершен неоправданный логический переход от заключения о бесконечности суммирования к утверждению, что сумма будет бесконечной.
Update2:
Зенон (с подсказки Руслана Хазарзара Апории Зенона с подачи hitthelimit): «Никогда не догонит» - не значит бесконечное течение времени, но отсутствие такой возможности в рамках данного рассуждения...
Я: Странное, конечно, заявление. Спросите у каждого кто вас сейчас слушал: как он понял ваше "никогда не догонит"? И вы получите однозначный ответ: Ахилл будет бесконечно долго бежать за черепахой. Ведь говоря "этот дождь никогда не закончится" мы подразумеваем именно бесконечное дление некоторого процесса во времени. Если же вы трактуете это "никогда" по-другому, тогда вам это и следовало особо отметить. Да, мы используем слово "никогда" и не только в смысле бесконечного дления, а как указание на невозможность некоторого события - это никогда не случится. И тут можно с вами согласиться - мы никогда не сможем с абсолютной точностью указать момент времени и точку встречи Ахилла и черепахи. В предложенной вами логике бесконечного деления времени и пространства между любыми двумя моментами времени всегда можно вставить еще моменты, а следовательно, действительно, можно утверждать, что момента под названием "Ахилл догнал черепаху" никогда не будет - мы его просто не в состоянии выделить в ряду моментов от "вот-вот еще чуть-чуть" и "уже перегнал". А оно нам надо? Главное, что мы можем указать некоторый момент, когда Ахилл еще не догнал черепаху (в точке, где раньше была черепаха на начало бега), и момент, когда она уже позади (в моем примере - удвоенное исходное время). Тем более, вас же самого не смущало то, что как невозможно точно указать момент встречи, так и невозможно зафиксировать момент достижения Ахиллом точки, где была черепаха на начало бега. Там та же проблема "бесконечного" приближения, но вы же в своем рассказе позволили Ахиллу переступить через эту проблему. Точно также он и переступит через черепаху. А проблему поиска абсолютно точного момента следует отнести к проблеме ловли блох.
Итак, заключение "никогда не догонит" в смысле бесконечного по времени бега опровергается демонстрацией конечности суммы бесконечного числа промежутков времени, то есть указанием на неизбежность существования момента, когда Ахилл будет впереди черепахи, а "никогда" трактуемое как невозможность указать с абсолютной точностью момент встречи не имеет отношения к проблеме движения, а только к нашей дотошности в измерениях. Достаточно сказать, что встреча произойдет течении такого-то промежутка времени (сейчас бы мы сказали такой-то секунды) - и никакой проблемы.
Update3
Теперь я могу суммировать и вынести вердикт: Зенон после доказательства, что между Ахиллом и черепахой всегда можно будет указать некоторое расстояние, был совершенно прав, использовав в выводе апории слово "никогда". Только он ошибся в его применении: вместо того, чтобы написать "мы никогда не сможем указать точку встречи Ахилла и черепахи" (см. Update2) или "мы никогда не закончим наши рассуждения о беге Ахиллеса" (см. Разговоры, разговоры, слово к слову тянется), сделал совершенно алогичный вывод "Ахилл никогда не догонит черепаху" (см. Update1).
Update4
Итоговый текст по апории «Ахиллес и черепаха» - Никогда не говори никогда
Спасибо всем за обсуждение проблемы.