123. Лады типа "терцовая цепь" в 12-TET и 19-TET, их взаимосвязь. Часть 1
.
Не так уж давно я рассматривал лады типа "одна ступень - одно трезвучие" ( 110, 111), обладающие минималистичной терцовой структурой. Существует ещё один похожий тип ладов, более многочисленый, и ещё более минималистичный по терцовой структуре. Речь идёт о ладах, которые я назвал ладами типа "терцовая цепь".
Рассмотрим, для примера, структуру Натурального минора в виде графа. В данном случае даже неважно в каком строе 12-TET или 19-TET.
Красными стрелками обозначены большие терции, синими - малые. Типичный лад типа "одна ступень - одно трезвучие", представляющий собой замкнутый цикл из терций.
Теперь исключим из этого лада какую-нибудь ступень, например, шестую:
Без шестой ступени (её место заняла теперь уже бывшая седьмая), замкнутый цикл из терций превратился в последовательность у которой есть начало, совпадающее в данном случае с тоникой, и конец. Подобные лады, которые можно представить в виде непрерывной последовательности терций, и будем называть ладами типа "терцовая цепь". Получившийся лад (его код в 19-TET - 4A484, а в 12-TET - B52) идентифицируется и Salierius и Microtonal19TET как "Эолийская гексатоника".
Лад обладает свойством: От всех ступеней, кроме двух, можно посторить одно трезвучие. Ступени от которых нельзя построить трезвучия - два последних в терцовой цепи.
Внимание! Далеко не все лады обладающие свойством "одна ступень - одно трезвучие, две ступени без трезвучий" являются ладами типа "терцовая цепь"!
Для наглядного отображения терцовой структуры таких ладов даже не нужен граф. Можно записывать её в виде последовательности символов, обозначив большие терции как 'Т', а малые как 'т'. Так, структура вышеприведённого лада запишется так: тТтТт. Правда в таком обозначении непонятно положение тоники в этой терцовой цепи. Договоримся при использовании таких обозначений считать, что тоника находится в самом начале терцовой цепи (если не указано иное).
Проблема поиска ладов типа "терцовая цепь" легко решается полным перебором всех возможных ладов.
Как мне удалось установить, в 12-TET существует 90 ладов типа "терцовая цепь" в 20 семействах, максимальное количество ступеней - шесть. Заглавными ладами этих семейств буду считать те, в которых тоника находится в начале терцовой цепи.
Добавив к терцовой цепи ещё одну терцию, можно попытаться получить новую терцовую цепь. В лучшем случае, из одной терцовой цепи можно получить две новые терцовые цепи - одна образуется при добавлении малой терции, другая при добавлении большой терции. В худшем случае - ни одной. Терцовые цепи, из которых нельзя получить более длинные терцовые цепи, буду называть "предельные терцовые цепи".
Каждой терцовой цепи соответствует своё семейство ладов, со своим заглавным ладом.
В свете вышесказанного очевидно, что терцовые цепи (семейства ладов типа "терцовая цепь") можно упорядочить в виде двоичного дерева, показанного тут в виде таблицы:
Предельные терцовые цепи занимают в этой таблице самый правый столбец. Как видно, в 12-TET существует 6 предельных терцовых цепей, все они шестиступенны.
Полный список 12-TET ладов типа "терцовая цепь", сортировка по количеству ступеней и семействам:
2 ступени:
01 880 808 . . Т Большая терция
02 900 804 . . т Малая терция
3 ступени:
03 890 908 844 M . . Тт Мажорный аккорд
04 910 884 848 m . . тТ Минорный аккорд
05 920 904 824 d . . тт Уменьшенный аккорд
4 ступени:
06 891 918 8C4 C48 M m . . ТтТ Ching scale без 3 ступ. (Ryukyu без кварты, Raga Hamsadhvani без 2 ст., Raga Mamata без 4 ст.)
07 892 928 944 A24 M d . . Ттт Эолийская тетратоника с пониженной 2 ступенью (Raga Mahathi, Raga Antara Kaishiaki)
08 912 894 948 A44 m M . . тТт Эолийская пентатоника без кварты (Bi Yu scale)
09 922 914 8A4 A48 d m . . ттТ Tristan chord (Фригийская тетратоника с повышенной 3 ступенью)
5 ступеней:
10 A91 A46 91A 8D4 D48 M . m M . ТтТт Лидийская гексатоника без 5 ступени (Raga Hamsadhvani, Raga Hansadhvani)
11 A92 A4A 92A 954 AA4 M . d m . ТттТ Доминантная пентатоника (Мажорная пентатоника с повышенной 5 ступенью)
12 B12 C4A 895 958 AC4 m . M m . тТтТ Эолийская гексатоника без кварты
13 D12 A25 896 968 B44 m . M d . тТтт Pelog (Raga Rukmangi)
14 D22 A45 916 8B4 B48 d . m M . ттТт Локрийский без 4 и 6 ступени
6 ступеней:
15 AB1 AC6 B1A C6A 8D5 D58 M . m . M m ТтТтТ Лидийский без 6 ступени (Raga Ratnakanthi, Raga Chaturangini 2)
16 AD1 B46 D1A A35 8D6 D68 M . m . M d ТтТтт Ионийский без 6 ступени (Raga Kedaram, Raga Nalinakanti, Raga Vilasini)
17 AD2 B4A D2A A55 956 AB4 M . d . m M ТттТт Миксолидийский без 6 ступени (Raga Siva Kambhoji, Raga Vivardhini)
18 B52 D4A A95 A56 95A AD4 m . M . m M тТтТт Эолийская гексатоника (Минорная гексатоника, Дорийский/Эолийский без 6 ступени)
19 D52 AA5 A96 A5A 96A B54 m . M . d m тТттТ Фригийский без 6 ступени (Raga Gandharavam)
20 D62 AC5 B16 C5A 8B5 B58 d . m . M m ттТтТ Локрийский без 6 ступени (Honchoshi plagal form)
Здесь в каждой строке были указаны: номер семейства, hex-код заглавного лада, hex-коды остальных ладов семейства, типы трезвучий которые можно построить на каждой ступени заглавного лада, терцовая структура заглавного лада, название (или несколько вариантов названий) заглавного лада.
В следующий раз, про то как обстоят дела с терцовыми цепями в 19-TET.
Оглавление Словарь Словарь МТ
Не так уж давно я рассматривал лады типа "одна ступень - одно трезвучие" ( 110, 111), обладающие минималистичной терцовой структурой. Существует ещё один похожий тип ладов, более многочисленый, и ещё более минималистичный по терцовой структуре. Речь идёт о ладах, которые я назвал ладами типа "терцовая цепь".
Рассмотрим, для примера, структуру Натурального минора в виде графа. В данном случае даже неважно в каком строе 12-TET или 19-TET.
Красными стрелками обозначены большие терции, синими - малые. Типичный лад типа "одна ступень - одно трезвучие", представляющий собой замкнутый цикл из терций.
Теперь исключим из этого лада какую-нибудь ступень, например, шестую:
Без шестой ступени (её место заняла теперь уже бывшая седьмая), замкнутый цикл из терций превратился в последовательность у которой есть начало, совпадающее в данном случае с тоникой, и конец. Подобные лады, которые можно представить в виде непрерывной последовательности терций, и будем называть ладами типа "терцовая цепь". Получившийся лад (его код в 19-TET - 4A484, а в 12-TET - B52) идентифицируется и Salierius и Microtonal19TET как "Эолийская гексатоника".
Лад обладает свойством: От всех ступеней, кроме двух, можно посторить одно трезвучие. Ступени от которых нельзя построить трезвучия - два последних в терцовой цепи.
Внимание! Далеко не все лады обладающие свойством "одна ступень - одно трезвучие, две ступени без трезвучий" являются ладами типа "терцовая цепь"!
Для наглядного отображения терцовой структуры таких ладов даже не нужен граф. Можно записывать её в виде последовательности символов, обозначив большие терции как 'Т', а малые как 'т'. Так, структура вышеприведённого лада запишется так: тТтТт. Правда в таком обозначении непонятно положение тоники в этой терцовой цепи. Договоримся при использовании таких обозначений считать, что тоника находится в самом начале терцовой цепи (если не указано иное).
Проблема поиска ладов типа "терцовая цепь" легко решается полным перебором всех возможных ладов.
Как мне удалось установить, в 12-TET существует 90 ладов типа "терцовая цепь" в 20 семействах, максимальное количество ступеней - шесть. Заглавными ладами этих семейств буду считать те, в которых тоника находится в начале терцовой цепи.
Добавив к терцовой цепи ещё одну терцию, можно попытаться получить новую терцовую цепь. В лучшем случае, из одной терцовой цепи можно получить две новые терцовые цепи - одна образуется при добавлении малой терции, другая при добавлении большой терции. В худшем случае - ни одной. Терцовые цепи, из которых нельзя получить более длинные терцовые цепи, буду называть "предельные терцовые цепи".
Каждой терцовой цепи соответствует своё семейство ладов, со своим заглавным ладом.
В свете вышесказанного очевидно, что терцовые цепи (семейства ладов типа "терцовая цепь") можно упорядочить в виде двоичного дерева, показанного тут в виде таблицы:
Предельные терцовые цепи занимают в этой таблице самый правый столбец. Как видно, в 12-TET существует 6 предельных терцовых цепей, все они шестиступенны.
Полный список 12-TET ладов типа "терцовая цепь", сортировка по количеству ступеней и семействам:
2 ступени:
01 880 808 . . Т Большая терция
02 900 804 . . т Малая терция
3 ступени:
03 890 908 844 M . . Тт Мажорный аккорд
04 910 884 848 m . . тТ Минорный аккорд
05 920 904 824 d . . тт Уменьшенный аккорд
4 ступени:
06 891 918 8C4 C48 M m . . ТтТ Ching scale без 3 ступ. (Ryukyu без кварты, Raga Hamsadhvani без 2 ст., Raga Mamata без 4 ст.)
07 892 928 944 A24 M d . . Ттт Эолийская тетратоника с пониженной 2 ступенью (Raga Mahathi, Raga Antara Kaishiaki)
08 912 894 948 A44 m M . . тТт Эолийская пентатоника без кварты (Bi Yu scale)
09 922 914 8A4 A48 d m . . ттТ Tristan chord (Фригийская тетратоника с повышенной 3 ступенью)
5 ступеней:
10 A91 A46 91A 8D4 D48 M . m M . ТтТт Лидийская гексатоника без 5 ступени (Raga Hamsadhvani, Raga Hansadhvani)
11 A92 A4A 92A 954 AA4 M . d m . ТттТ Доминантная пентатоника (Мажорная пентатоника с повышенной 5 ступенью)
12 B12 C4A 895 958 AC4 m . M m . тТтТ Эолийская гексатоника без кварты
13 D12 A25 896 968 B44 m . M d . тТтт Pelog (Raga Rukmangi)
14 D22 A45 916 8B4 B48 d . m M . ттТт Локрийский без 4 и 6 ступени
6 ступеней:
15 AB1 AC6 B1A C6A 8D5 D58 M . m . M m ТтТтТ Лидийский без 6 ступени (Raga Ratnakanthi, Raga Chaturangini 2)
16 AD1 B46 D1A A35 8D6 D68 M . m . M d ТтТтт Ионийский без 6 ступени (Raga Kedaram, Raga Nalinakanti, Raga Vilasini)
17 AD2 B4A D2A A55 956 AB4 M . d . m M ТттТт Миксолидийский без 6 ступени (Raga Siva Kambhoji, Raga Vivardhini)
18 B52 D4A A95 A56 95A AD4 m . M . m M тТтТт Эолийская гексатоника (Минорная гексатоника, Дорийский/Эолийский без 6 ступени)
19 D52 AA5 A96 A5A 96A B54 m . M . d m тТттТ Фригийский без 6 ступени (Raga Gandharavam)
20 D62 AC5 B16 C5A 8B5 B58 d . m . M m ттТтТ Локрийский без 6 ступени (Honchoshi plagal form)
Здесь в каждой строке были указаны: номер семейства, hex-код заглавного лада, hex-коды остальных ладов семейства, типы трезвучий которые можно построить на каждой ступени заглавного лада, терцовая структура заглавного лада, название (или несколько вариантов названий) заглавного лада.
В следующий раз, про то как обстоят дела с терцовыми цепями в 19-TET.
Оглавление Словарь Словарь МТ