101. Изоморфизм ладов 12-TET и 19-TET. Теоретическая часть
.
Множество ладов 19-TET содержит в себе важное подмножество. Это лады которые можно преобразовать в 12-TET и обратно с сохранением структуры. То есть лады без потерь проходящие через вот такое преобразование:
Для краткости последующих рассуждений обозначу это подмножество как «множество А».
Квинтовая структура таких ладов укладывается в диапазон от -6 квинт до +6 квинт. Если рассмотреть семейства ладов, к которым принадлежат лады из «множества А», то окажется, что есть семейства в которых только один лад принадлежит к «множеству А». Есть семейства в которых несколько ладов принадлежат к «множеству А». И есть семейства в которых все лады принадлежат к «множеству А». Лады входящие в семейства, в которых все лады принадлежащат «множеству А» объединим в «множество Б». Понятно что «множество Б» является подмножеством «множества А».
С точки зрения квинтовой структуры, лады входящие в «множество Б» характеризуются тем, что ширина их квинтовой структуры не привышает 6 квинт. Т.е. квинтовая структура такого лада должна укладываться в диапазон от -6 квинт до 0 квинт, или от -5 квинт до +1 квинты, ... , от 0 квинт до +6 квинт. Такое ограничение приводит к тому что всё семейство ладов уложится в диапазон от -6 квинт до +6 квинт. Наглядный пример этого - квинтовая структура натуральных ладов ( 041) (по ссылке, правда, речь идёт о 12-TET, но это непринципиально).
Преобразуем все лады принадлежащие к «множеству Б» в 12-TET. Получим «множество Б12» 12-TET ладов.
«Множество Б» и «множество Б12» настолько тесно связаны друг с другом, что можно говорить о своего рода изоморфизме входящих в них ладов:
1) Каждое из этих множеств содержит по 255 ладов, сгруппированных в 64 семейства (результат получен компьютерным моделированием).
2) Существует взаимно однозначное соответствие между ладами «множества Б» и «множества Б12»*.
3) Циклический сдвиг структуры лада в «множестве Б» соответствует циклическому сдвигу структуры лада в «множестве Б12» и наоборот.
4) Типы аккордов которые можно построить на ступенях лада совпадают в соответствующих ладах обоих множеств (по крайней мере это так для мажорных, минорных и уменьшенных, увеличенных в таких ладах не бывает, для септаккордов пока не проверял).
5) Каждому из 64 семейств соответствует свой паттерн квинтовой структуры, одинаковый для 12-TET и 19-TET.
*) В преобразовании 12-TET ладов в 19-TET лады, при наличии тритона к тонике, возникает неоднозначность. Трактовать ли тритон как +6 квинт к тонике (красная стрелка), или как -6 квинт к тонике (зелёная стрелка)? В данном случае следует выбирать вариант, дающий более компактную квинтовую структуру.
На примере натурального лидийского лада (он тоже входит в «множество Б12» и имеет аналог в «множестве Б»).
Тритон к тонике трактуется как +6 квинт, получается компактная квинтовая структура лада:
Тритон к тонике трактуется как -6 квинт, получается менее компактная квинтовая структура лада:
Если в первом случае «размах» квинтовой структуры от края до края составляет 6 квинт, то во втором случае 11 квинт. Следовательно выбирается первый вариант.
Оглавление Словарь Словарь МТ
Множество ладов 19-TET содержит в себе важное подмножество. Это лады которые можно преобразовать в 12-TET и обратно с сохранением структуры. То есть лады без потерь проходящие через вот такое преобразование:
Для краткости последующих рассуждений обозначу это подмножество как «множество А».
Квинтовая структура таких ладов укладывается в диапазон от -6 квинт до +6 квинт. Если рассмотреть семейства ладов, к которым принадлежат лады из «множества А», то окажется, что есть семейства в которых только один лад принадлежит к «множеству А». Есть семейства в которых несколько ладов принадлежат к «множеству А». И есть семейства в которых все лады принадлежат к «множеству А». Лады входящие в семейства, в которых все лады принадлежащат «множеству А» объединим в «множество Б». Понятно что «множество Б» является подмножеством «множества А».
С точки зрения квинтовой структуры, лады входящие в «множество Б» характеризуются тем, что ширина их квинтовой структуры не привышает 6 квинт. Т.е. квинтовая структура такого лада должна укладываться в диапазон от -6 квинт до 0 квинт, или от -5 квинт до +1 квинты, ... , от 0 квинт до +6 квинт. Такое ограничение приводит к тому что всё семейство ладов уложится в диапазон от -6 квинт до +6 квинт. Наглядный пример этого - квинтовая структура натуральных ладов ( 041) (по ссылке, правда, речь идёт о 12-TET, но это непринципиально).
Преобразуем все лады принадлежащие к «множеству Б» в 12-TET. Получим «множество Б12» 12-TET ладов.
«Множество Б» и «множество Б12» настолько тесно связаны друг с другом, что можно говорить о своего рода изоморфизме входящих в них ладов:
1) Каждое из этих множеств содержит по 255 ладов, сгруппированных в 64 семейства (результат получен компьютерным моделированием).
2) Существует взаимно однозначное соответствие между ладами «множества Б» и «множества Б12»*.
3) Циклический сдвиг структуры лада в «множестве Б» соответствует циклическому сдвигу структуры лада в «множестве Б12» и наоборот.
4) Типы аккордов которые можно построить на ступенях лада совпадают в соответствующих ладах обоих множеств (по крайней мере это так для мажорных, минорных и уменьшенных, увеличенных в таких ладах не бывает, для септаккордов пока не проверял).
5) Каждому из 64 семейств соответствует свой паттерн квинтовой структуры, одинаковый для 12-TET и 19-TET.
*) В преобразовании 12-TET ладов в 19-TET лады, при наличии тритона к тонике, возникает неоднозначность. Трактовать ли тритон как +6 квинт к тонике (красная стрелка), или как -6 квинт к тонике (зелёная стрелка)? В данном случае следует выбирать вариант, дающий более компактную квинтовую структуру.
На примере натурального лидийского лада (он тоже входит в «множество Б12» и имеет аналог в «множестве Б»).
Тритон к тонике трактуется как +6 квинт, получается компактная квинтовая структура лада:
Тритон к тонике трактуется как -6 квинт, получается менее компактная квинтовая структура лада:
Если в первом случае «размах» квинтовой структуры от края до края составляет 6 квинт, то во втором случае 11 квинт. Следовательно выбирается первый вариант.
Оглавление Словарь Словарь МТ