099. Преобразование ладов из 12-TET в 19-TET и обратно
.
Основная идея - придумать преобразование, максимально сохраняющее квинтовую структуру лада. Т.е. если в 12-TET ладу присутствует ступень, находящаяся в N квинтах от тоники, то и в 19-TET её желательно сохранить. Ну и соответственно, если в M квинтах от тоники ступени нет, то и в 19-TET её желательно избежать. При обратном преобразовании из 19-TET в 12-TET принцип тот же. Понятно, что взаимно-однозначное преобразование произвольных ладов в принципе невозможно - в 19-TET количество ступеней может быть больше 12.
Квинтовая структура лада в 12-TET простирается от -6 квинт от тоники до +6 квинт от тоники, а в 19-TET от -9 до +9. Чтобы сопоставить квинтовые структуры 12-TET и 19-TET, рассмотрим квинтовую структуру 12-TET в «расширенном диапазоне», тоже от -9 до +9 квинт.
Соответствие интервалов от -9 до +9 квинт хроматическим ступеням. Для 12-TET:
Где:
N - количество квинт от тоники;
N*7 - интервал в N квинт (в 12-TET полутонах);
S12 - номер соответствующей хроматической ступени в 12-TET (0 - тоника), S12=(N*7)mod12
Обратите внимание на два обстоятельства:
1) Номера некоторых ступеней появились в таблице дважды, как раз те, которым соответствуют интервалы за пределами ±6 квинт (белые столбцы).
2) Интервалу +6 квинт и -6 квинт соответствует одна и та же ступень, находящаяся в тритоне от тоники.
Квинтовая структура лада в 19-TET простирается от -9 квинт до +9 квинт от тоники. Никаких неоднозначностей в соответствии ступеням 19-TET лада при этом нет.
Аналогичная таблица для 19-TET. Соответствие интервалов от -9 до +9 квинт микрохроматическим ступеням:
Где:
N - количество квинт от тоники;
N*11 - интервал в N квинт (в 19-TET тонах);
S19 - номер соответствующей микрохроматической ступени в 19-TET (0 - тоника), S19=(N*11)mod19
Здесь уже нет никаких повторений и неоднозначностей. Номер каждой ступени появляется только один раз.
Теперь осталось сопоставить строки с номерами хроматических (S12) и микрохроматических (S19) ступеней:
Преобразование лада 12-TET в 19-TET это по сути замена ступени номер S12 в 12-TET на ступень номер S19 в 19-TET. При этом, номера S12 нужно брать только из пределов от -6 до +6 квинт (те что на сером фоне). Ведь нет оснований полагать что, например, 4 ступень это -8 квинт, а не более простые и близкие +4 квинты.
Схема преобразования с упорядочиванием по номерам (микро)хроматических ступеней:
Неоднозначность преобразования 6 ступени показана красной и зелёной стрелкой. Для выбора конкретного варианта (или двух вариантов сразу) нет определённого алгоритма. По возможности следует учитывать логику квинтовой структуры лада. Например, при преобразовании Локрийского лада не мешает вспомнить, что все его ступени на квинтовой проекции отложены вниз от тоники, а значит это -6 квинт, а не +6 квинт. Таким образом, 6 ступень переходит в 10 ступень (зелёная стрелка).
Преобразование лада 19-TET в 12-TET происходит аналогично, заменой ступени номер S19 в 19-TET на ступень номер S12 в 12-TET. При этом нет каких либо ограничений или неоднозначностей. Но возможны варианты когда двум различным ступеням в 19-TET соответствует одна и та же ступень в 12-TET.
Схема преобразования с упорядочиванием по номерам (микро)хроматических ступеней:
Любопытно, что если последовательно применить преобразование из 12-TET в 19-TET и потом из 19-TET в 12-TET, то всегда получится исходный лад:
Оглавление Словарь Словарь МТ
Основная идея - придумать преобразование, максимально сохраняющее квинтовую структуру лада. Т.е. если в 12-TET ладу присутствует ступень, находящаяся в N квинтах от тоники, то и в 19-TET её желательно сохранить. Ну и соответственно, если в M квинтах от тоники ступени нет, то и в 19-TET её желательно избежать. При обратном преобразовании из 19-TET в 12-TET принцип тот же. Понятно, что взаимно-однозначное преобразование произвольных ладов в принципе невозможно - в 19-TET количество ступеней может быть больше 12.
Квинтовая структура лада в 12-TET простирается от -6 квинт от тоники до +6 квинт от тоники, а в 19-TET от -9 до +9. Чтобы сопоставить квинтовые структуры 12-TET и 19-TET, рассмотрим квинтовую структуру 12-TET в «расширенном диапазоне», тоже от -9 до +9 квинт.
Соответствие интервалов от -9 до +9 квинт хроматическим ступеням. Для 12-TET:
Где:
N - количество квинт от тоники;
N*7 - интервал в N квинт (в 12-TET полутонах);
S12 - номер соответствующей хроматической ступени в 12-TET (0 - тоника), S12=(N*7)mod12
Обратите внимание на два обстоятельства:
1) Номера некоторых ступеней появились в таблице дважды, как раз те, которым соответствуют интервалы за пределами ±6 квинт (белые столбцы).
2) Интервалу +6 квинт и -6 квинт соответствует одна и та же ступень, находящаяся в тритоне от тоники.
Квинтовая структура лада в 19-TET простирается от -9 квинт до +9 квинт от тоники. Никаких неоднозначностей в соответствии ступеням 19-TET лада при этом нет.
Аналогичная таблица для 19-TET. Соответствие интервалов от -9 до +9 квинт микрохроматическим ступеням:
Где:
N - количество квинт от тоники;
N*11 - интервал в N квинт (в 19-TET тонах);
S19 - номер соответствующей микрохроматической ступени в 19-TET (0 - тоника), S19=(N*11)mod19
Здесь уже нет никаких повторений и неоднозначностей. Номер каждой ступени появляется только один раз.
Теперь осталось сопоставить строки с номерами хроматических (S12) и микрохроматических (S19) ступеней:
Преобразование лада 12-TET в 19-TET это по сути замена ступени номер S12 в 12-TET на ступень номер S19 в 19-TET. При этом, номера S12 нужно брать только из пределов от -6 до +6 квинт (те что на сером фоне). Ведь нет оснований полагать что, например, 4 ступень это -8 квинт, а не более простые и близкие +4 квинты.
Схема преобразования с упорядочиванием по номерам (микро)хроматических ступеней:
Неоднозначность преобразования 6 ступени показана красной и зелёной стрелкой. Для выбора конкретного варианта (или двух вариантов сразу) нет определённого алгоритма. По возможности следует учитывать логику квинтовой структуры лада. Например, при преобразовании Локрийского лада не мешает вспомнить, что все его ступени на квинтовой проекции отложены вниз от тоники, а значит это -6 квинт, а не +6 квинт. Таким образом, 6 ступень переходит в 10 ступень (зелёная стрелка).
Преобразование лада 19-TET в 12-TET происходит аналогично, заменой ступени номер S19 в 19-TET на ступень номер S12 в 12-TET. При этом нет каких либо ограничений или неоднозначностей. Но возможны варианты когда двум различным ступеням в 19-TET соответствует одна и та же ступень в 12-TET.
Схема преобразования с упорядочиванием по номерам (микро)хроматических ступеней:
Любопытно, что если последовательно применить преобразование из 12-TET в 19-TET и потом из 19-TET в 12-TET, то всегда получится исходный лад:
Оглавление Словарь Словарь МТ