Не проврался ли я, сочиняя "задачу"?
Самоконтроль
Предположим, у нас есть конечное вероятностное пространство, состоящее из n элементов, каждому событию (точке) приписана вероятность 1/n.
Два подмножества А,В называются независимыми, если P(A∩B)=P(A)P(B), т.е., учитывая, что P(A)=|A|/n, если |A|⋅|B|= n⋅|A∩B| (имеется в виду число элементов подмножества).
Доказать, что при n простом нет нетривиальных (пар) независимых событий*, и описать все такие пары, если n = pq (разложимое, для простоты, считая p,q простыми так, что разложение единственно).
____________________________
*Нетривиальность означает, что вероятности P(A) и P(B) обе отличны от единицы, т.е., ни одно из множеств А,В не совпадает со всем пространством.
Последам. Таки проврался
Добродетельный и высокоучёный Алекс Баттерфильд продемонстрировал мне всю глубину моего невежества, прислав ссылку. Бросаем одну монету и одну игральную кость. Пространство событий состоит из 12 элементов.
Сколько существует пар независимых событий, таких, чтобы P(A∩B)=P(A)P(B)? Ответ: 888 888. Вторая часть вопроса ("... и описать..."), задуманного как задача училкам, снимается за очевидной непосильностью.
Кстати, как в ЖЖ грамотно вставлять ссылки на временных жителей, которые, подобно Алексу, заходят с иностранными паспортами? Что должно быть вместо < lj user = "...." >?
Последвухдам. О красоте конструкций
Что мы знаем о лисе?
Ничего. И то не все.
Исаак Восходер
По некоем размышлении решил написать ответ на комментарий почтеннейшего brevi в развёрнутой форме.
Прелесть (и эстетика) конструкции Колмогорова не очевидна, и больше всего радует сердце прожжённого идеалиста-(нео)платоника. В самом деле, вопрос о том, что такое случайность (случайные события, случайная величина) просто убирается со стола. Вместо него вводится некое идеальное, невидимое и неосязаемое (а значит, и непознаваемое - привет половине философов) вероятностное пространство Ω с заданной на нём аддитивной вероятностной мерой P (забудем для простоты про алгебру ℱ допустимых событий: в случае конечного Ω она тривиально совпадает с алгеброй всевозможных подмножеств Ω; счётная аддитивность P тоже нужна только для извращений, которые оценят лишь немногие).
Нормальный математик поднимет бровь и спросит: так зачем нужно было городить огород, обзывать теорию вероятностей отдельной дисциплиной, да ещё выделять в университетах отдельные ставки для пробабелей и статистов? Единственный аргумент, который позволяет пробабелям претендовать на особый статус, - это понятие независимости.
Которое, если вдуматься, почти так же туманно и непонятно, как понятие случайности. Кто от кого зависит, и почему? Вы хотите позвать философов, чтоб они замутили воду окончательно так, чтобы все перестали понимать происходящее? Должна ли зависимость означать какую-то причинность? Зависит ли мой завтрашний график работы от того, взойдёт ли завтра Солнце? Зависит ли оценка на экзамене от того, сколько времени школьник к нему готовился?
Колмогоровская аксиоматика предлагает поразительно лаконичный и универсальный ответ. Два события независимы, если вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей каждого из них по отдельности, P(A∩B)=P(A)P(B). Нонсенс? Нонсенс. Но оказывается, что такое определение позволяет доказывать все теоремы про все ситуации, в которые вовлечено конечное или бесконечное число событий.
Как всегда при аксиоматизации, нужно привести примеры того, что аксиоматизация разумна. Например: пусть у нас есть две (разные) монеты, каждая из которых выпадает случайным образом орлом или решкой "независимо" от результатов бросания другой. Не зная ничего про эти монеты, мы берём (существующие по Колмогорову) вероятностные пространства Ω1 и Ω2 (одинаковые? разные? аллах их разберёт) и строим новое вероятностное пространство Ω = Ω1 × Ω2, а на нём вероятностную меру P1× P2. Легко видеть, что новое вероятностное пространство в самом деле хорошо описывает бросание двух монет (или, скажем, монеты и игральной кости), и вероятность одновременного события "монета упала орлом, а кость шестёркой" будет равна произведению вероятностей. В матане это называется "теорема Фубини", а в школе - формулой для площади прямоугольника: если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то его площадь равна произведению длин проекций на каждую координатную ось. Казалось бы, чего больше можно требовать от хорошей теории?
Правильный вопрос, - чего меньше можно требовать. Построение, описанное выше (декартово произведение, площади прямоугольника и пр.) подразумевает, что вероятностное пространство для задачи "бросаем две монеты" должно отличаться от вероятностного пространства для задачи "встретим ли мы динозавра, гуляя по улице Герцля/Горького". Оно должно быть декартовым произведением, а вероятностная мера на нём должна быть произведением мер на сомножителях.
Такой подход, при всей своей естественности, отнюдь не безопасен. Хорошо если нам надо всего две монеты/кости бросить, а вдруг у нас сложная карточная игра, и правила следующего хода зависят от того, какие предыдущие карты были выложены на стол? Вы возьмётесь построить вероятностное пространство для игры в преферанс, учитывая, что некоторые ходы предписывает делать теория, а в некоторых случаях игрок выбирает случайную карту для захода или, наоборот, для того, чтобы побить/пропустить заходчика?
Колмогоровская аксиоматика величественно игнорирует подобные вопросы. Никакой структуры декартова произведения ни на каком вероятностном пространстве априори не предполагается. Анализируя конкретную модель, вы конечно можете строить её путём декартова перемножения более простых моделей, но это на вашей совести. А Высшему Разуму плевать на то, какими соображениями руководствовался некто, строя свою собственную модель вероятностного пространства. Единственное известное Высшему Разуму понятие независимости - соотношение P(A∩B)=P(A)P(B). Точка.
В связи со сказанным хочется вернуться всё же к случаю конечного вероятностного пространства Ω с n элементами и перечисления всех пар независимых событий в нём. Для начала, такая задача малоосмысленна: ну, найдём мы пару "необъяснимо независимых" подмножеств. И что? Какие выводы воспоследуют из такой независимости? Кроме того, в задаче вылезают какие-то явно левые соображения делимости, которых не будет в случае бесконечного вероятностного пространства. Но ведь никто же не утверждает, что с каждой вероятностной задачей связано единственное вероятностное пространство!! Разменяйте рупь копейками, и у вас запросто появятся новые пары независимых событий!
В общем, некий элемент загадочности остаётся. Почему такой минималистский подход оказывается работающим и столь эффективно обслуживает физическую реальность, данную нам в ощущениях?
Предположим, у нас есть конечное вероятностное пространство, состоящее из n элементов, каждому событию (точке) приписана вероятность 1/n.
Два подмножества А,В называются независимыми, если P(A∩B)=P(A)P(B), т.е., учитывая, что P(A)=|A|/n, если |A|⋅|B|= n⋅|A∩B| (имеется в виду число элементов подмножества).
Доказать, что при n простом нет нетривиальных (пар) независимых событий*, и описать все такие пары, если n = pq (разложимое, для простоты, считая p,q простыми так, что разложение единственно).
____________________________
*Нетривиальность означает, что вероятности P(A) и P(B) обе отличны от единицы, т.е., ни одно из множеств А,В не совпадает со всем пространством.
Последам. Таки проврался
Добродетельный и высокоучёный Алекс Баттерфильд продемонстрировал мне всю глубину моего невежества, прислав ссылку. Бросаем одну монету и одну игральную кость. Пространство событий состоит из 12 элементов.
Сколько существует пар независимых событий, таких, чтобы P(A∩B)=P(A)P(B)? Ответ: 888 888. Вторая часть вопроса ("... и описать..."), задуманного как задача училкам, снимается за очевидной непосильностью.
Кстати, как в ЖЖ грамотно вставлять ссылки на временных жителей, которые, подобно Алексу, заходят с иностранными паспортами? Что должно быть вместо < lj user = "...." >?
Последвухдам. О красоте конструкций
Что мы знаем о лисе?
Ничего. И то не все.
Исаак Восходер
По некоем размышлении решил написать ответ на комментарий почтеннейшего brevi в развёрнутой форме.
Прелесть (и эстетика) конструкции Колмогорова не очевидна, и больше всего радует сердце прожжённого идеалиста-(нео)платоника. В самом деле, вопрос о том, что такое случайность (случайные события, случайная величина) просто убирается со стола. Вместо него вводится некое идеальное, невидимое и неосязаемое (а значит, и непознаваемое - привет половине философов) вероятностное пространство Ω с заданной на нём аддитивной вероятностной мерой P (забудем для простоты про алгебру ℱ допустимых событий: в случае конечного Ω она тривиально совпадает с алгеброй всевозможных подмножеств Ω; счётная аддитивность P тоже нужна только для извращений, которые оценят лишь немногие).
Нормальный математик поднимет бровь и спросит: так зачем нужно было городить огород, обзывать теорию вероятностей отдельной дисциплиной, да ещё выделять в университетах отдельные ставки для пробабелей и статистов? Единственный аргумент, который позволяет пробабелям претендовать на особый статус, - это понятие независимости.
Которое, если вдуматься, почти так же туманно и непонятно, как понятие случайности. Кто от кого зависит, и почему? Вы хотите позвать философов, чтоб они замутили воду окончательно так, чтобы все перестали понимать происходящее? Должна ли зависимость означать какую-то причинность? Зависит ли мой завтрашний график работы от того, взойдёт ли завтра Солнце? Зависит ли оценка на экзамене от того, сколько времени школьник к нему готовился?
Колмогоровская аксиоматика предлагает поразительно лаконичный и универсальный ответ. Два события независимы, если вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей каждого из них по отдельности, P(A∩B)=P(A)P(B). Нонсенс? Нонсенс. Но оказывается, что такое определение позволяет доказывать все теоремы про все ситуации, в которые вовлечено конечное или бесконечное число событий.
Как всегда при аксиоматизации, нужно привести примеры того, что аксиоматизация разумна. Например: пусть у нас есть две (разные) монеты, каждая из которых выпадает случайным образом орлом или решкой "независимо" от результатов бросания другой. Не зная ничего про эти монеты, мы берём (существующие по Колмогорову) вероятностные пространства Ω1 и Ω2 (одинаковые? разные? аллах их разберёт) и строим новое вероятностное пространство Ω = Ω1 × Ω2, а на нём вероятностную меру P1× P2. Легко видеть, что новое вероятностное пространство в самом деле хорошо описывает бросание двух монет (или, скажем, монеты и игральной кости), и вероятность одновременного события "монета упала орлом, а кость шестёркой" будет равна произведению вероятностей. В матане это называется "теорема Фубини", а в школе - формулой для площади прямоугольника: если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то его площадь равна произведению длин проекций на каждую координатную ось. Казалось бы, чего больше можно требовать от хорошей теории?
Правильный вопрос, - чего меньше можно требовать. Построение, описанное выше (декартово произведение, площади прямоугольника и пр.) подразумевает, что вероятностное пространство для задачи "бросаем две монеты" должно отличаться от вероятностного пространства для задачи "встретим ли мы динозавра, гуляя по улице Герцля/Горького". Оно должно быть декартовым произведением, а вероятностная мера на нём должна быть произведением мер на сомножителях.
Такой подход, при всей своей естественности, отнюдь не безопасен. Хорошо если нам надо всего две монеты/кости бросить, а вдруг у нас сложная карточная игра, и правила следующего хода зависят от того, какие предыдущие карты были выложены на стол? Вы возьмётесь построить вероятностное пространство для игры в преферанс, учитывая, что некоторые ходы предписывает делать теория, а в некоторых случаях игрок выбирает случайную карту для захода или, наоборот, для того, чтобы побить/пропустить заходчика?
Колмогоровская аксиоматика величественно игнорирует подобные вопросы. Никакой структуры декартова произведения ни на каком вероятностном пространстве априори не предполагается. Анализируя конкретную модель, вы конечно можете строить её путём декартова перемножения более простых моделей, но это на вашей совести. А Высшему Разуму плевать на то, какими соображениями руководствовался некто, строя свою собственную модель вероятностного пространства. Единственное известное Высшему Разуму понятие независимости - соотношение P(A∩B)=P(A)P(B). Точка.
В связи со сказанным хочется вернуться всё же к случаю конечного вероятностного пространства Ω с n элементами и перечисления всех пар независимых событий в нём. Для начала, такая задача малоосмысленна: ну, найдём мы пару "необъяснимо независимых" подмножеств. И что? Какие выводы воспоследуют из такой независимости? Кроме того, в задаче вылезают какие-то явно левые соображения делимости, которых не будет в случае бесконечного вероятностного пространства. Но ведь никто же не утверждает, что с каждой вероятностной задачей связано единственное вероятностное пространство!! Разменяйте рупь копейками, и у вас запросто появятся новые пары независимых событий!
В общем, некий элемент загадочности остаётся. Почему такой минималистский подход оказывается работающим и столь эффективно обслуживает физическую реальность, данную нам в ощущениях?