В поисках простоты

[xaxam]

Peanissimo
Господа и дамы, у меня заскок, прошу помощи зала. Речь идёт о системе аксиом Пеано, определяющих множество ℕ натуральных чисел (для удобства мы включаем туда ноль, рискуя оскорбить память Арнольда). Я хочу чуть-чуть подкрутить "историческую аксиоматику второго порядкаПомимо тривиальных аксиом для отношения = (равенство), мы вводим

Comments

[ile_eli]

че-то я не понял, о чем ты. Пеановское подмножество, в смысле, что у него та же операция S, что и в множестве? Если нет, то множество ℕ не такое, если да, то не вижу примера, чтоб было Пеановским, но не минимальным.

[xaxam]

Формально S своя в каждом множестве. В случае ℕ (предполагающегося хорошо знакомым) S(a)=a+1. Аксиома индукции означает, что прибавляя по единичке, мы досчитаем до любого натурального числа. В высших ординалах это не так: первое, что делают на лекциях - определяют ординал ω, непосредстенно следующий за всеми натуральными числами. После этого понятно, что такое ω+1, ω+2, ..., так что мы получаем пре-пеановское множество, но оно не пеановское - там два "корня", 0 и ω. Мы можем ещё немного расширить его, добавив ω-1, ω-2 и т.д., (каждое из них больше любого натурального), в результате ω перестанет быть корнем, но полученное множество будет не минимальным.

[ile_eli]

Это я как раз понимаю, но у ℕ есть пеановские подмножества: числа, кратные двум, или кратные 48. Соответственно ℕ не минимально. Так?

[xaxam]

От этой засады можно было бы, наверное, улизнуть, если потребовать, чтобы для двух пре-пеановских вложенных множеств операция S была бы одна и та же (получалась ограничением с большего на меньшее).

Но дело хуже: само определение корня в том виде, в котором я его дал, оказывается порочным.

[p_k]

Вроде как тогда множество натуральных чисел строго больших нуля тоже пеановское (у него нулем будет 1), при этом оно является собственным подмножеством натуральных чисел (во французском смысле, то есть с нулем). То есть последнее оказывается не минимальным, и вообще все выглядит так что минимальных пеановских множеств нет. То ли это чего хотелось?

[xaxam]

Вы правы в том смысле, что понятие "минимальности" пеановского множества надо уточнить: при переходе к собственному подмножеству понятие "быть корнем" может измениться (в процессе перехода мы выкинули предшественников, создав "искусственный офсайд").

Возможно, это и есть причина почему так не делается: корень, если он остался в подмножестве, останется там корнем, а вот новые корни могут появиться. Порочность скрыта в самом определении корня.

Спасибо!

[bors]

Можно зафиксировать один выделенный корень в структуру "препеановского" множества. У них должен быть 0 и S.

[xaxam]

Т.е., надо в условии минимальности требовать, чтобы не было других (собственных) пеановских подмножеств, содержащих 0 и с той же операцией S?

Вроде работает, но придётся вернуться к определению того, что такое корень (0 изначально всего лишь один из корней).

В стандартной пеановской аксиоматике 0 выделен с самого начала как элемент, не имеющий предшественников, и это не может измениться при переходе к подмножествам.

[a_konst]

Разве ваше определение минимальности не является в точности аксиомой индукции, только другими словами?
Upd. Эх, потерял хватку.

[piont]

По крайней мере, минимальное пеановское множество "изоморфно" натуральным числам, т.е. естественная инъекция из натуральных чисел в пеановское (0 отправим в корень и пойдем по индукции) -- биекция. В этом смысле все минимальные пеановские множества изоморфны и ничем не хуже друг друга. Конечно, они удовлетворяют аксиоме индукции, и каждый может выбрать среди них себе набор натуральных чисел по вкусу.

[xaxam]

Моё определение минимальности логически порочно, поскольку определение "корня" некорректно и меняется при переходе к подмножеству.

[xaxam]

Идея Пеано интуитивно очевидная: аксиоматизируем единственный атрибут натуральных чисел - их приспособленность к "пересчитыванию" чего-либо, операцией "последующий элемент". Есть три содержательных вопроса, на которые надо при этом уметь отвечать:

1. Корректность процесса (два считателя должны всегда договориться, кто за кем). В терминах очереди - бесконфликтность (ситуацию "Я за этой тетёнькой. - И я за ней же!" надо исключить).
2. С чего начинать считать.
3. Быть уверенным в том, что до любого элемента можно досчитать.

Первые два требования выполняются для многих разных множеств, перечисленных в посте (например, несколько разных очередей к разным окошкам); среди целых чисел не с чего начинать: с какого бы числа мы не начали, все меньшие числа никогда не будут посчитаны; пересчёт по кругу - тоже явно нам не подходит: хотя он логически реализуем, это не то, что мы хотим.

Третье требование независимо от первых двух и для бесконечных множеств вовсе не очевидно: в описанном выше примере мы никогда не досчитаем до элемента ω. Поэтому

[het1]

аксиому индукции много раз варьировали (чуть меньше, чем 5-й постулат)