В поисках простоты
Peanissimo
Господа и дамы, у меня заскок, прошу помощи зала. Речь идёт о системе аксиом Пеано, определяющих множество ℕ натуральных чисел (для удобства мы включаем туда ноль, рискуя оскорбить память Арнольда). Я хочу чуть-чуть подкрутить "историческую аксиоматику второго порядка".
Помимо тривиальных аксиом для отношения = (равенство), мы вводим операцию S (monic operation, successor), соответствующий понятию "следующий за": S(0)=1, S(1)=2, ... S(99)=100, ... Эта операция должна быть определена везде, инъективна (S(n)=S(m) тогда и только тогда, когда n=m) и отдельно требуется, что ноль ни за чем не следует (у него нет предшественника).
Чтобы не определить лишнего (помимо натуральных чисел), вводится ещё одна, последняя аксиома - аксиома индукции. Она гласит, что всякое множество, содержащее 0 и замкнутое относительно действия S, совпадает с ℕ.
Я хочу заменить аксиому индукции более прозрачным и естественным требованием минимальности. Рассмотрим множество А, на котором определена инъективная операция S с одним аргументом как выше; назовём такие множества пре-пеановскими. Корнем (имеется в виду корень дерева) пре-пеановского множества называется элемент А, не имеющий предшественников (корней может быть более одного или не быть вовсе). Множество называется пеановским, если множество корней непусто и состоит из единственного элемента 0.
Пеановское множествоназывается минимальным, если оно не содержит собственного пеановского подмножества.
Заметим, что если а - корень, то всё дерево S(a) его конечных последователей совпадает с ℕ (каждому элементу S(a) ставится в соответствие число итераций S, которые надо, чтобы получить этот элемент из а; само а переходит в нуль).
Объединение нескольких (разноцветных) копий множества ℕ не пеановское: будет слишком много корней. Напротив, множество целых чисел ℤ или множество ℤn остатков по модулю n (с естественной операцией S) не пеановские, поскольку корней там нет вовсе. Можно взять несвязное объединение ℕ и нескольких разноцветных копий ℤ и ℤn: число корней останется равным 1, но такое объединение будет пеановским, но не минимальным.
Кажется, что минимальное пеановское множество удовлетворяет аксиоме индукции.
Есть ли дырка в подобной конструкции?
Последам
Есть.
Определение корня "кривое", оно меняется при переходе к собственному подмножеству: если выбросить из ℕ несколько первых чисел, то нулевой корень исчезнет, и наоборот, самое маленькое из оставшихся чисел станет корнем.
Господа и дамы, у меня заскок, прошу помощи зала. Речь идёт о системе аксиом Пеано, определяющих множество ℕ натуральных чисел (для удобства мы включаем туда ноль, рискуя оскорбить память Арнольда). Я хочу чуть-чуть подкрутить "историческую аксиоматику второго порядка".
Помимо тривиальных аксиом для отношения = (равенство), мы вводим операцию S (monic operation, successor), соответствующий понятию "следующий за": S(0)=1, S(1)=2, ... S(99)=100, ... Эта операция должна быть определена везде, инъективна (S(n)=S(m) тогда и только тогда, когда n=m) и отдельно требуется, что ноль ни за чем не следует (у него нет предшественника).
Чтобы не определить лишнего (помимо натуральных чисел), вводится ещё одна, последняя аксиома - аксиома индукции. Она гласит, что всякое множество, содержащее 0 и замкнутое относительно действия S, совпадает с ℕ.
Я хочу заменить аксиому индукции более прозрачным и естественным требованием минимальности. Рассмотрим множество А, на котором определена инъективная операция S с одним аргументом как выше; назовём такие множества пре-пеановскими. Корнем (имеется в виду корень дерева) пре-пеановского множества называется элемент А, не имеющий предшественников (корней может быть более одного или не быть вовсе). Множество называется пеановским, если множество корней непусто и состоит из единственного элемента 0.
Пеановское множествоназывается минимальным, если оно не содержит собственного пеановского подмножества.
Заметим, что если а - корень, то всё дерево S(a) его конечных последователей совпадает с ℕ (каждому элементу S(a) ставится в соответствие число итераций S, которые надо, чтобы получить этот элемент из а; само а переходит в нуль).
Объединение нескольких (разноцветных) копий множества ℕ не пеановское: будет слишком много корней. Напротив, множество целых чисел ℤ или множество ℤn остатков по модулю n (с естественной операцией S) не пеановские, поскольку корней там нет вовсе. Можно взять несвязное объединение ℕ и нескольких разноцветных копий ℤ и ℤn: число корней останется равным 1, но такое объединение будет пеановским, но не минимальным.
Кажется, что минимальное пеановское множество удовлетворяет аксиоме индукции.
Есть ли дырка в подобной конструкции?
Последам
Есть.
Определение корня "кривое", оно меняется при переходе к собственному подмножеству: если выбросить из ℕ несколько первых чисел, то нулевой корень исчезнет, и наоборот, самое маленькое из оставшихся чисел станет корнем.