Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл. Часть 2.
Оригинал взят у ahiin в Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл. Часть 2.
Первая часть.
Напомню, мы разбираемся со свойствами функций
, заданных на некотором множестве
, таких, что для любых
и некоторых констант
и
выполняется неравенство:
.
Важный специальный случай
разобран в прошлый раз, пусть теперь
.
Здесь и далее все рассуждения я буду иллюстрировать на примере функции одной переменной, давая, при необходимости пояснения для многих переменных.
Аналогично прошлой части, рассмотрим значение функции
. Посмотрите на картинку:
Окрашеная область отмечает область допустимых значений для функции, удовлетворяющей условию Гёльдера при
.
При выполнении условия Гёльдера функция изменяется по модулю не быстрее, чем
. График функции не может покинуть закрашенной области.
Аналогично условию Липшица видно, что на любом ограниченном интервале (а равно и отрезке, и области, и компакте) функция, удовлетворяющая условию Гёльдера - ограничена.
Упражнение (очень простое): используя определение, аналитически покажите ограниченность функции с условием Гёльдера.
Упражнение (совсем простое): используя определение, покажите, что функция
удовлетворяет некоторому условию Гёльдера.
Снова, по аналогии с первой частью, рассмотрим картинку:
Функция с наложенным условием Гёльдера целиком поместится в зеленой фигуре,
.
Аналогичную фигуру можно построить для любой пары сколь угодно близких точек (пример показан на рисунке красным). Аналогично условию Липшица, совершенно несложно аналитически показать, что функция с условием Гёльдера непрерывна (и равномерно непрерывна).Обратное неверно.
Упражнение (очень простое): используя определение, покажите, что условие Гёльдера не выполняется для функции
.
Упражнение (очень простое): покажите равномерную непрерывность функции с условием Гёльдера.
Перепишем условие Гёльдера в ином виде:
Как видим, об ограниченности левой части неравенства уже речи не идет, лучшее на что мы можем расчитывать - это то, что ее рост ограничен некоторой асимптотикой.
С геометрической точки зрения, это означает, что угловой коэффициент хорд, соединяющих какие-либо две точки графика может расти неограниченно при сближени этих точек друг к другу.
Сие громоздкое выражение станет, надеюсь, понятнее после просмотра очередного рисунка.
Здесь изображен график функции
и парочка хорд. Проблема гнездится в точке
Обратите внимание, правая и левая ветви графика сходятся в ней под нулевым углом. Подобные точки у функции называют иногда точками заострения (или же точками возврата). Представьте, что мы пытаемя решать краевую задачу для некоторого уравнения в частных производных в некоторой области. Если у кривой (или поверхности, или гиперповерхности), ограничивающей область, есть такие точки - с решением краевой задачи начинают твориться всевозможнейшие непотребства. Про это дело написано немало толстых книжек, и не сказать бы, что тема закрыта.
Давайте рассмотрим еще один интересный вопрос. Верно ли, что если функция удовлетворяет условию Гёльдера-Липшица с показателем
, то она удовлетворяет условию Гёльдера для любого показателя
Теорема: Ответ ДА, если область определния
ограничена.
Упражнение (простое): докажите теорему.
Отсюда, кстати, вытекает, что подавляющая часть элементарных функций удовлетворяет условию Гёльдера на любом ограниченном отрезке с тем или иным показателем.
Таким образом, в ограниченных областях мы имеем простую зависимость: чем меньше показатель Гёльдера - тем слабее ограничение на функцию.
Как всегда, масла в огонь подливают неограниченные области. В этом случае условия Гёльдера-Липшица с разными показателями создают независимые множества функций, ни одно из которых не является подмножеством другого.
Причину этой неприятности раскрывает слеюдующая
Теорема: пусть заданы функции
Тогда:
1. Существует такое достаточно малая
что
2. Существует такая достаточно большая
что
Упражнение (чуть сложнее, чем простое): докажите утверждение.
Конечно, тем или иным способом данное затруднение можно обойти.
Для нас важнее другое: стоить запомнить, что если область неограничена - жди беды!
Упражнение (элементарное для тех, кто справился с аналогичным в предыдущей части): пусть даны две функции
, удовлетворяющие условию Гёльдера и некоторая константа
. Используя определение, покажите, что нижеследующие функции также являются гёльдеровыми. Рассмотрите отдельно случаи, когда показатель Гельдера у обоих функций одинаков и когда показатели разные.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Напоследок, давайте посмотрим, что происходит вне диапазона
.
1.
Рассмотрим соотношения:
Переходя к пределу при
, получим
Таким образом, наша функция является банальной константой. Стоило вводить ограничение, ради того чтоб получить такие скучные функции!
2.
Сразу получается, что
Т.е. опять ничего интересного - этому условию удовлетворяют все ограниченные функции. Ни о какой непрерывности уже речи не идет.
3.
Здесь уже совсем все плохо:
Нет даже ограниченности.
Не то чтобы такие функции не имеют права на существование, однако инструменты для работы с ними нужны иные, а условие Гёльдера-Липшица, как некий продвинутый показатель гладкости функции, теряет смысл.
Продолжение следует.
Первая часть.
Напомню, мы разбираемся со свойствами функций
, заданных на некотором множестве
, таких, что для любых
и некоторых констант
и
выполняется неравенство:
.
Важный специальный случай
разобран в прошлый раз, пусть теперь
.
Здесь и далее все рассуждения я буду иллюстрировать на примере функции одной переменной, давая, при необходимости пояснения для многих переменных.
Аналогично прошлой части, рассмотрим значение функции
. Посмотрите на картинку:
Окрашеная область отмечает область допустимых значений для функции, удовлетворяющей условию Гёльдера при
.
При выполнении условия Гёльдера функция изменяется по модулю не быстрее, чем
. График функции не может покинуть закрашенной области.
Аналогично условию Липшица видно, что на любом ограниченном интервале (а равно и отрезке, и области, и компакте) функция, удовлетворяющая условию Гёльдера - ограничена.
Упражнение (очень простое): используя определение, аналитически покажите ограниченность функции с условием Гёльдера.
Упражнение (совсем простое): используя определение, покажите, что функция
удовлетворяет некоторому условию Гёльдера.
Снова, по аналогии с первой частью, рассмотрим картинку:
Функция с наложенным условием Гёльдера целиком поместится в зеленой фигуре,
.
Аналогичную фигуру можно построить для любой пары сколь угодно близких точек (пример показан на рисунке красным). Аналогично условию Липшица, совершенно несложно аналитически показать, что функция с условием Гёльдера непрерывна (и равномерно непрерывна).Обратное неверно.
Упражнение (очень простое): используя определение, покажите, что условие Гёльдера не выполняется для функции
.
Упражнение (очень простое): покажите равномерную непрерывность функции с условием Гёльдера.
Перепишем условие Гёльдера в ином виде:
Как видим, об ограниченности левой части неравенства уже речи не идет, лучшее на что мы можем расчитывать - это то, что ее рост ограничен некоторой асимптотикой.
С геометрической точки зрения, это означает, что угловой коэффициент хорд, соединяющих какие-либо две точки графика может расти неограниченно при сближени этих точек друг к другу.
Сие громоздкое выражение станет, надеюсь, понятнее после просмотра очередного рисунка.
Здесь изображен график функции
и парочка хорд. Проблема гнездится в точке
Обратите внимание, правая и левая ветви графика сходятся в ней под нулевым углом. Подобные точки у функции называют иногда точками заострения (или же точками возврата). Представьте, что мы пытаемя решать краевую задачу для некоторого уравнения в частных производных в некоторой области. Если у кривой (или поверхности, или гиперповерхности), ограничивающей область, есть такие точки - с решением краевой задачи начинают твориться всевозможнейшие непотребства. Про это дело написано немало толстых книжек, и не сказать бы, что тема закрыта.
Давайте рассмотрим еще один интересный вопрос. Верно ли, что если функция удовлетворяет условию Гёльдера-Липшица с показателем
, то она удовлетворяет условию Гёльдера для любого показателя
Теорема: Ответ ДА, если область определния
ограничена.
Упражнение (простое): докажите теорему.
Отсюда, кстати, вытекает, что подавляющая часть элементарных функций удовлетворяет условию Гёльдера на любом ограниченном отрезке с тем или иным показателем.
Таким образом, в ограниченных областях мы имеем простую зависимость: чем меньше показатель Гёльдера - тем слабее ограничение на функцию.
Как всегда, масла в огонь подливают неограниченные области. В этом случае условия Гёльдера-Липшица с разными показателями создают независимые множества функций, ни одно из которых не является подмножеством другого.
Причину этой неприятности раскрывает слеюдующая
Теорема: пусть заданы функции
Тогда:
1. Существует такое достаточно малая
что
2. Существует такая достаточно большая
что
Упражнение (чуть сложнее, чем простое): докажите утверждение.
Конечно, тем или иным способом данное затруднение можно обойти.
Для нас важнее другое: стоить запомнить, что если область неограничена - жди беды!
Упражнение (элементарное для тех, кто справился с аналогичным в предыдущей части): пусть даны две функции
, удовлетворяющие условию Гёльдера и некоторая константа
. Используя определение, покажите, что нижеследующие функции также являются гёльдеровыми. Рассмотрите отдельно случаи, когда показатель Гельдера у обоих функций одинаков и когда показатели разные.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Напоследок, давайте посмотрим, что происходит вне диапазона
.
1.
Рассмотрим соотношения:
Переходя к пределу при
, получим
Таким образом, наша функция является банальной константой. Стоило вводить ограничение, ради того чтоб получить такие скучные функции!
2.
Сразу получается, что
Т.е. опять ничего интересного - этому условию удовлетворяют все ограниченные функции. Ни о какой непрерывности уже речи не идет.
3.
Здесь уже совсем все плохо:
Нет даже ограниченности.
Не то чтобы такие функции не имеют права на существование, однако инструменты для работы с ними нужны иные, а условие Гёльдера-Липшица, как некий продвинутый показатель гладкости функции, теряет смысл.
Продолжение следует.