О пользе математики
В тему обсуждения http://fregimus.livejournal.com/256005.html, вызванного к жизни http://posic.livejournal.com/1288549.html:
"Если под полезным знанием, как мы временно согласились, понимать такое, которое либо сейчас, либо в сравнительно недалёком будущем, будет способствовать материальному комфорту человечества (т. е. чисто интеллектуальное удовлетворение в расчёт не принимается), то огромная часть высшей математики бесполезна. Современная геометрия и алгебра, теория чисел, теория множеств и функции, теория относительности, квантовая механика - ни одна из этих наук не удовлетворяет критерию полезности намного лучше, чем другая, и нет ни одного настоящего математика, жизнь которого можно было бы оправдать на этой основе. Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риман и Пуанкаре прожили свою жизнь напрасно; их вклад в комфорт человечества ничтожно мал, и мир без них ничего бы не потерял."
- Г. Г. Харди. Апология математика. 1940.
Скучно замечу, что математика -- это фундаментальная наука, быстрая практическая польза от которой не обязана быть. Это работа на будущее, на перспективу. Чистая же математика -- это фундамент и "питательный раствор" для математики прикладной, а через нее для большинства наук о природе вообще. То, что чистая математика еще часто и красива, то это математикам здорово повезло. Но чтобы чувствовать эту красоту, а тем более самостоятельно ее открывать, надо платить очень высокую цену обучения "бесполезным" математическим дисциплинам, тренировке ума. Кто-то назовет это игрой в бисер, и будет отчасти прав.
Дальше, слегка причесанные выдержки из моих ответов в журнале уважаемого Фрегимуса, которые хотелось бы сохранить у себя.
* * *
Математика -- это универсальный инструмент познания природы. Инструмент создается и оттачивается математиками, а используется в большинстве естественных наук, в первую очередь в физике. Вот эта универсальность и всеприменимость математики вызывает заслуженное удивление и интерес. Почему мир настолько математичен -- это глубокий вопрос, на который вряд ли когда будет получен ответ.
Математичность заключается не в наличии или отсутствии закономерностей в природе. Закономерность или причинность, наверное, необходимы для принципиальной познаваемости мира, но они не требуют необходимым образом для своего описания математики, и из их существования никак не следует, что математика -- подходящий инструмент.
Математичность я понимаю как способность эффективно описать мир математическим языком. Этот язык появился относительно недавно, постоянно совершенствуется (язык, скажем, Ньютона далек от современного), и нет никаких оснований полагать, что он полон, даже наоборот. Каких-то пару тысяч лет назад люди неплохо представляли мир вокруг себя без всякой математики.
Существует классическая статья 1960г "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", хотя еще Эйнштейн удивлялся подобным образом.
Статья: http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
Некоторое обсуждение есть даже в википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences
Если в двух словах, то суть в том, что выдуманные математические конструкции или модели (речь о физике) иногда слишком хорошо подходят к реальности, чем можно было бы на это надеяться из исходных посылок.
Итак, оказалось, что мир на удивление математичен. Для его познания необходимы математические инструменты. Математические инструменты (включая стандарты доказательности и т.д.) -- это продукт математиков. Можно, конечно, возразить, что существенная часть математики не имеет (пока) прикладного "инструментального" значения, но развитие инструментов невозможно без развития чистой математики, без фундамента и "разведки местности" вокруг. Мы не знаем заранее законов природы и какие и где математические структуры в ней могут себя проявить.
* * *
"Во-первых, это красиво!"
-- Бородатый анекдот.
Эстетическая внутренняя красота математики как таковой -- это вопрос, никак не связанный с ее полезностью. Полезна ли живопись или поэзия? Возможно, что то, что мы понимаем под математической красотой, -- это проявление человеческого стремления находить прекрасное в самых разных вещах. Но есть и более глубокое объяснение. Если задуматься, что в математике считается красивым самими математиками, то как мне кажется, это возможность очень малыми средствами выразить большую внутреннюю сложность (не исключено, что увериться в этом мне помог baaltii1). Человека восхищает, когда в простоте скрывается бездна смысла. То же самое работает и в других науках -- самые известные и фундаментальные законы выражаются простыми формулами. Да и в культуре вообще -- наиболее глубокие проявления разума обычно внешне лаконичны.
* * *
P.S. Интересное обсуждение похожих вопросов было о Шеня в записи "Апология математики для налогоплательщиков" и еще одной содержательной линии дискуссии с участием posic'a .
"Если под полезным знанием, как мы временно согласились, понимать такое, которое либо сейчас, либо в сравнительно недалёком будущем, будет способствовать материальному комфорту человечества (т. е. чисто интеллектуальное удовлетворение в расчёт не принимается), то огромная часть высшей математики бесполезна. Современная геометрия и алгебра, теория чисел, теория множеств и функции, теория относительности, квантовая механика - ни одна из этих наук не удовлетворяет критерию полезности намного лучше, чем другая, и нет ни одного настоящего математика, жизнь которого можно было бы оправдать на этой основе. Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риман и Пуанкаре прожили свою жизнь напрасно; их вклад в комфорт человечества ничтожно мал, и мир без них ничего бы не потерял."
- Г. Г. Харди. Апология математика. 1940.
Скучно замечу, что математика -- это фундаментальная наука, быстрая практическая польза от которой не обязана быть. Это работа на будущее, на перспективу. Чистая же математика -- это фундамент и "питательный раствор" для математики прикладной, а через нее для большинства наук о природе вообще. То, что чистая математика еще часто и красива, то это математикам здорово повезло. Но чтобы чувствовать эту красоту, а тем более самостоятельно ее открывать, надо платить очень высокую цену обучения "бесполезным" математическим дисциплинам, тренировке ума. Кто-то назовет это игрой в бисер, и будет отчасти прав.
Дальше, слегка причесанные выдержки из моих ответов в журнале уважаемого Фрегимуса, которые хотелось бы сохранить у себя.
* * *
Математика -- это универсальный инструмент познания природы. Инструмент создается и оттачивается математиками, а используется в большинстве естественных наук, в первую очередь в физике. Вот эта универсальность и всеприменимость математики вызывает заслуженное удивление и интерес. Почему мир настолько математичен -- это глубокий вопрос, на который вряд ли когда будет получен ответ.
Математичность заключается не в наличии или отсутствии закономерностей в природе. Закономерность или причинность, наверное, необходимы для принципиальной познаваемости мира, но они не требуют необходимым образом для своего описания математики, и из их существования никак не следует, что математика -- подходящий инструмент.
Математичность я понимаю как способность эффективно описать мир математическим языком. Этот язык появился относительно недавно, постоянно совершенствуется (язык, скажем, Ньютона далек от современного), и нет никаких оснований полагать, что он полон, даже наоборот. Каких-то пару тысяч лет назад люди неплохо представляли мир вокруг себя без всякой математики.
Существует классическая статья 1960г "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", хотя еще Эйнштейн удивлялся подобным образом.
Статья: http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
Некоторое обсуждение есть даже в википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences
Если в двух словах, то суть в том, что выдуманные математические конструкции или модели (речь о физике) иногда слишком хорошо подходят к реальности, чем можно было бы на это надеяться из исходных посылок.
Итак, оказалось, что мир на удивление математичен. Для его познания необходимы математические инструменты. Математические инструменты (включая стандарты доказательности и т.д.) -- это продукт математиков. Можно, конечно, возразить, что существенная часть математики не имеет (пока) прикладного "инструментального" значения, но развитие инструментов невозможно без развития чистой математики, без фундамента и "разведки местности" вокруг. Мы не знаем заранее законов природы и какие и где математические структуры в ней могут себя проявить.
* * *
"Во-первых, это красиво!"
-- Бородатый анекдот.
Эстетическая внутренняя красота математики как таковой -- это вопрос, никак не связанный с ее полезностью. Полезна ли живопись или поэзия? Возможно, что то, что мы понимаем под математической красотой, -- это проявление человеческого стремления находить прекрасное в самых разных вещах. Но есть и более глубокое объяснение. Если задуматься, что в математике считается красивым самими математиками, то как мне кажется, это возможность очень малыми средствами выразить большую внутреннюю сложность (не исключено, что увериться в этом мне помог baaltii1). Человека восхищает, когда в простоте скрывается бездна смысла. То же самое работает и в других науках -- самые известные и фундаментальные законы выражаются простыми формулами. Да и в культуре вообще -- наиболее глубокие проявления разума обычно внешне лаконичны.
* * *
P.S. Интересное обсуждение похожих вопросов было о Шеня в записи "Апология математики для налогоплательщиков" и еще одной содержательной линии дискуссии с участием posic'a .