Доказательства и опровержения Ч.1 Идеальные объекты, модели, мир Ньютона
Я не раз утверждал - уик-енд прекрасное время для лонгридов. Тем более что вчерашний спор с россиянами и даже конкретно один его эпизод вернул меня к необходимости обсуждать вопросы истинности утверждений. Да и боле еранние тексты о сущности науки сущностно неполны и взывают к продолжению.
И теперь я хочу заняться обоснованностью - что является и что не является хорошим обоснованием и почему реально в науке и в жизни доказать нельзя ничего - и почему контрпример есть вполне достаточное опровержение в мире идеальном, но совершенно недостаточное опровержение в реальности. Я хочу поплотнее заняться этими вопросами.
Текст этот старый, мои давнишние читатели наверняка его помнят
В интернет-дискуссиях можно очень часто услышать: Где пруфы?
В интернете «пруф» чаще всего означает всего лишь «доказательство» в своём буквальном переводе с английского языка. И если речь идет о единичном факте - говорил ли некий персонаж некую фразу - для доказательства истинности достаточно привести ссылку на источник, где фраза цитируется - и факт доказан.
Но если речь идет о некоем более-менее общем утверждении, тут одной цитатой не отделаешься. И попробуем вообще разобраться, что представляет из себя доказательство, применительно к реальности. А что представляет из себя опровержение - опять же для единичного факта это более-менее понятно. А как насчет общих утверждений?
И хотя мы обычно спорим о том, что более-менее с различными натяжками, но можно назвать историей, т.е. о событиях или теориях касающихся людей и общества, но отталкиваться мы начнем от естественных наук. Просто потому что там все намного проще устроено, соответственно мы намного больше знаем. Хотя и здесь представление о том, что значит "знать" сильно менялось во времени
Идеальные объекты
В математике и программировании, а также в шахматах, го или карточных играх мы имеем дело с идеальными объектами, т.е. объектами, которые существуют в нашем сознании и, строго говоря, только в нем - это их единственная среда обитания.
Валет червей, черный слон или симметричная матрица суть именно такие идеальные объекты, а вот конкретная карта, которую вы вынули из колоды, есть представитель или, как говорят математики, реализация, это проекция идеального валета червей в материальный мир.
И реальные свойства материальной игральной карты - ее размер, рисунок, материал - ровно никак на ее игровые качества не влияют, а хорошие шахматисты вполне могут отыграть всю партию без доски и фигур, весь процесс полностью при этом сосредоточен в головах игроков. Это возможно именно потому, что они манипулируют истинно идеальными объектами.
Для идеальных объектов мы можем сформулировать набор аксиом (правил игры) и приступить к выводу из него следствий-теорем. Именно к таким следствиям применимо понятие доказательства в том смысле, какое ему придали еще древние греки прежде всего в геометрии Евклида, тут оно корректно.
Доказательство может быть проверено и установлена его истинность (произведена ВЕРИФИКАЦИЯ). При этом проверяется только и исключительно правомерность логических операций, Несмотря на видимую простоту метода верификации предложений в мире идеальных объектов, людям эта процедура очень долго не давалась. нет, в большинстве случаев нахождение ошибки в доказательстве ученика вполне прилично получались уже в Древней Греции. Но когда появилась высшая математика, ситуация резко усложнилась. Проблема оказалась в одном слове "очевидно", и человечеству понадобились века и усилия в прямом смысле слова титанов чистой мысли, чтобы изгнать из математики "очевидность" и научиться манипулировать аксиомами и только аксиомами, не позволяя себе ничего домысливать.
Трудность проблемы станет понятней, если осознать: полную систему аксиом евклидовой геометрии разработал великий Гильберт на рубеже ХХ века в 1899 году. Система содержала 21 аксиому, но как позже доказали - 21-я аксиома была лишней! У одного из величайших математиков ХХ века нашлась ошибка в формулировке системы аксиом школьной геометрии, а он посвятил многие годы созданию этой системы.
Т.е. только в ХХ веке люди смогли аккуратно сформулировать аксиоматику евклидовой геометрии, "правильная" система аксиом арифметики появилась примерно тогда же. Столь позднее появление аксиоматики самых основ математики указывает на сложность и глубокую нетривиальность "очевидных" утверждений в мире наиболее простых объектов: точек, прямых и целых чисел. /чтобы оценить эту нетривиальность попробуйте доказать самое простое утверждение, тривиальность которого вошла в поговорку: докажите, что дважды два - четыре, и вы убедитесь, что очевидное и понятное - не есть синонимы/
Однако если не брать тонкости, в общем-то уже к ХIХ веку техника доказательств в математике была разработана достаточно хорошо, и ошибочные результаты в научной печати стали достаточно редки .
Еще ранее было установлено простое правило опровержения для мира идеальных объектов - для опровержения общего утверждения достаточно ОДНОГО ОПРОВЕРГАЮЩЕГО ПРИМЕРА. Мы запомним этот факт, потому что в мире наук о реальности все окажется намного хуже.
Однако вся эта процедура возможна только для идеальных объектов. Возможна лишь потому, что нам известны абсолютно все свойства придуманных нами объектов - ведь мы сами их придумали и сами их описали в наборе аксиом (правил).
Всякое утверждение о таких объектах есть вывод из исходного набора аксиом, и по сути НЕ СОЗДАЕТ НОВОГО ЗНАНИЯ, а лишь проявляет, делает понятным и заметным то, что имплицитно(неявно) содержалось уже в самой конструкции объекта (системе аксиом).
В таких условиях доказательство есть лишь цепочка логических следствий, осуществляемых по правилам формальной логики, а проверка доказательства есть проверка правильности указанных операций. И в принципе уже сегодня такую проверку можно поручить компьютеру, поскольку она сводится к проведению формальных процедур.
Поворот к реальности: принципиально новая проблема
Но как только мы обращаемся к реальности, к естественным наукам, картина меняется совершенно.
Проблема в том, что при построении научной теории в мало-мальски развитой науке, в которой мы уже вышли из стадии простого описания своих наблюдений и приступили к построению хоть каких-то обобщений, нашим первым шагом всегда становится ОТКАЗ ОТ РАБОТЫ С РЕАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ И ПЕРЕХОД К ОБЪЕКТАМ ИДЕАЛЬНЫМ.
Действительно, в реальности нам даны лишь единичные объекты и единичные факты.
И как только мы от слов "Этот человек" переходим к слову "люди" мы уже перешли к обобщению. Мы создали из единичных объектов класс, а классы это уже объекты идеальные, в реальности классов нет.
Отступление: кто такие люди?
По легенде Платон на вопрос учеников Академии: что есть человек? ответил:
"Двуногое существо без перьев". Диоген купил на базаре петуха, ощипал его, принес в Академию и сказал: "Вот человек Платона".
И Платон добавил "двуногое существо без перьев и с плоскими ногтями".
Это вполне разумное определение класса, поскольку оно позволяет достаточно точно выделить интересующий нас класс объектов. Но это плохая модель, поскольку она не описывает тех свойств человека, которые выделяют его из всей совокупности животных. Но и сегодня это было бы серьезной проблемой - ибо мы не слишком хорошо понимаем, что такое разум
Этот пример показывает, что при переходе к описанию классов, а это одна из главных задач в естественных науках,-у нас возникает одна из главных проблем науки - проблема создания модели.
Мы по возможности стараемся не иметь дела с самой реальностью, реальность всегда слишком сложна и запутана.
Вместо реального объекта мы придумываем некий ИДЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ, который называем МОДЕЛЬ.
Создание моделей очень важный шаг в разработке любой теории, он всегда знаменует переход от чисто наблюдательных описаний к выделению важнейших для нашего рассмотрения свойств и связыванию их в некое единство, в МОДЕЛЬ.
Так появляются такие вполне идеальные, но важнейшие для науки объекты, как инерциальная система отсчета, твердое тело, идеальный газ, химическое соединение, биологический вид или свободный рынок.
Они в чистом виде в реальности никогда и нигде не встречаются, зато являются сравнительно простыми объектами, очень удобными для изучения, и при этом адекватно отражающими важные свойства объектов реальных.
Наша модель это уже идеальный объект, и работая с ней мы можем опереться на уже отработанный аппарат логических доказательств и опровержений, а если модель допускает количественные характеристики, то с ней можно проводить все расчеты, свойственные математике.
Однако установление истинности научных положений (верификация теории) теперь требует принципиально новых процедур, неизвестных математике. Мало продемонстрировать точность и чистоту логических приемов, что требовалось для верификации в математике, теперь это совсем не главное.
Потому что мы никогда не можем быть уверены, что когда мы упростили реальность, заменив ее моделью, мы не слишком упростили ее, не выплеснули с водой и ребенка. Т.е качество результата теперь будет зависеть от адекватности принятой модели.
А это абсолютно иная проблема - и притом архисложная. /попробуйте придумать модель для задачи - помог бы тюлений жир капитану Джону Манглсу успокоить волны при входе в бухту яхты "Дункан" (Дети капитана Гранта)/
Однако и в этой проблеме кое-что стало понятным давно - главным для установления истинности и ценности научного результата будет опытная проверка во-первых самого результата и во-вторых ВЫВОДИМЫХ ИЗ НЕГО СЛЕДСТВИЙ. Последнее зачастую и оказывается самым важным.
Если выводимые следствия подтверждаются в опыте, мы объявляем результат научной истиной. И непоколебимый авторитет механики Ньютона базировался на том, что тысячи инженерных расчетов, проведенных по правилам механики Ньютона, соответствовали реальности с достаточно высокой степенью точности.
Мир Ньютона
Механика Ньютона стала на века недостижимым идеалом научной теории, как до нового времени тысячи лет идеалом считалась геометрия Евклида.
Любая научная теория мечтала быть похожей на механику Ньютона, великий критик чистого разума Иммануил Кант усматривал в ней ту же "аподиктическую очевидность", что и в аксиомах Евклида.
Уже поэтому есть смысл немного разобраться, что же в ней было такого особенного?
А особенное очень даже было.
Хотя авторитет ньютоновской механики во многом был связан с грандиозными успехами многоразличных практических расчетов, выполненных в рамках этой механики, однако сразу следует понять, что создавалась эта теория вовсе не для инженерных приложений.
Механика Ньютона создавалась автором совершенно с иной целью. Механика Ньютона претендовала на объяснение и описание устройства Мира. И надо сказать, это была первая и последняя такая научная теория, все остальные вели себя скромнее. И именно обнаружение относительной истинности механики Ньютона как модели, и, строго говоря, ее принципиальной ложности как описания Мира, навсегда отвратил ученых от мысли, что они могут отписать "истинную реальность. Но Ньютон - тут был уникальный случай.
По мысли Ньютона мир устроен Творцом (Ньютон был глубоко религиозным человеком) следующим образом.
Существует абсолютное пространство, независимое ни от каких тел, сотворенное совершенным по воле Божьей, которое подчиняется классически прекрасной и самоочевидной геометрии Евклида.
Существует абсолютное время, текущее одинаковым образом во всех точках мира.
Движение и взаимодействие тел подчиняются простым трем Законам Ньютона и Закону всемирного тяготения. Эти законы идеально выполняются лишь в абсолютном пространстве-времени, рассматриваемом как идеальная система отсчета.
Всякая реальная система отсчета несовершенна и может рассматриваться лишь как приближение к этой идеальной системе. Системы отсчета, движущиеся идеально прямолинейно и равномерно относительно абсолютного пространства, сами являются инерциальными системами - т.е. такими, в которых Законы Ньютона (понимаемые как абсолютные Законы Природы!) выполняются точно.
Во всех остальных системах отсчета они выполняются приближенно.
Законы Природы одинаковы во всем мире и в равной степени приложимы ко всем телам - большим и маленьким, движущимся быстро и медленно.
Такой взгляд на Мир был представлен в знаменитом труде Ньютона.
Очевидные слабости ньютоновской концепции
Заметим, Ньютон вовсе не рассматривал свою картину как удобную модель. А пространство и время - как модельные понятия. Нет, сэр Исаак претендовал на абсолютную истинность своих положений. И следует заметить, успехи модели Ньютона были настолько грандиозны, что постепенно большинство ученых стали воспринимать ньютоновскую картину мира как абсолютную истину.
Хотя в этой картине было изначально слабое место - это великий Закон всемирного тяготения (ЗВТ). Этот Закон утверждал, что два любых тела притягивают друг друга с силой прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Сегодня в это трудно поверить, но публикация Закона вызвала небывалую в научном мире реакцию - на Ньютона появились карикатуры в научных журналах, настолько нелепым казался многим физикам этот закон. И у них были к тому очень серьезные основания.
Во-первых, потому что согласно ЗВТ сила взаимодействия передается на любое расстояние, и притом независимо от того, есть что-то в разделяющем тела пространстве, или оно пустое. Физики не могли представить себе силу, которая действует через миллионы километров пустого пространства. Т.е. совсем не могли вообще. Потому что сила всегда действует здесь и сейчас, т.е. ПУТЕМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО КОНТАКТА (они оказались не так уж неправы!).
Но было и второе возражение, а оно было еще хуже - эта загадочная сила на любые расстояния действовала МГНОВЕННО.
Свет от Солнца до Земли идет 8 минут. Но если я подыму руку, сила с которой я притягиваю Солнце изменится не через 8 минут, а мгновенно - так гласит ЗВТ. А представить себе нечто реальное, что распространяется мгновенно на любые расстояния, т.е. фактически движется с бесконечной скоростью, физики категорически отказывались (и, как выяснилось, - были правы!).
Отступление: необходимость нелепого закона?
Ньютон в ответ на критику отмалчивался. Однако если немножко подумать, в мире Ньютона наличие бесконечно быстрого процесса абсолютно необходимо.
Ньютоново время единое и неделимое, и везде все часы идут одинаково. Такова простая и вроде бы убедительная концепция Ньютона. Но в физике не может быть места вещам принципиально непроверяемым. Однако чтобы убедиться, что часы на Земле и на Юпитере идут одинаково, мы должны иметь возможность послать БЕСКОНЕЧНО БЫСТРЫЙ СИГНАЛ. Только он позволит нам сличать часы за миллионы километров.
Опять же есть аксиома, что поезд, когда он едет, имеет относительно неподвижного наблюдателя ту же длину, как и тогда, когда он стоит. Однако и для проверки этого утверждения нам совершенно необходим бесконечно быстрый сигнал
Действительно, если его нет, то нельзя измерить длину едущего поезда: когда я ставлю метку на рельсы в момент, когда со мной поравнялась голова - я посылаю сигнал и по этому сигналу мой ассистент, стоящий в самом хвосте выплескивает на рельсы краску. Померяли расстояние между метками - получили длину.
Но если сигнал от головы до хвоста идет конечное время, поезд успеет продвинуться за это время - и длина между метками будет меньше длины стоящего поезда.
И получится, что длина движущегося предмета меньше, чем когда он покоится (так и получилось у Эйнштейна, у которого сигнала бесконечно быстрого не существует). И это как мы знаем - верно.
Но в мире Ньютона - в мире абсолютных длин и абсолютных часов - без бесконечно быстрого сигнала было не обойтись
Да, принципиальные слабости у Ньютонова мира были. Но они искупались во-первых "естественностью" и "очевидностью" своих аксиом - пространство едино, время везде одинаково, ни массы, ни длины предметов от скорости не зависят - это были простые и очевидные вещи, наша интуиция охотно их принимала.
А кроме того простота расчетов на основе механики Ньютона и ее успехи в объяснении самых разных явлений - от проектирования механизмов до движения планет - сделали свое дело. И даже сомнения в адекватности Мира Ньютона наблюдаемой реальности постепенно исчезли
Правда и на Солнце есть пятна - было и у механики Ньютона свое слабое место. Перигелий орбиты Меркурия не желал подчиняться механике Ньютона.
Но это было единственное исключение - и на него махнули рукой. Как и на очевидные несообразности ЗВТ - простота, эффективность и универсальность механики Ньютона, ее грандиозные успехи затмевали все.
Но тут Шахразаду застигло утро... текст уже и так слишком длинный.
А где же обещанные положения о том, что считать доказательством, а что - опровержением? зачем я в ожидании критерия доказанности читал всю эту мутотень? - поматросил и бросил.
Виноват, но непременно исправлюсь, а все это было необходимым - нельзя перескакивать через этапы и влетать в правильный ответ - он все равно не будет понят. А нас еще ждут впереди открытия. Пока что обойдемся открытиями, что аксиомы арифметики и евклидовой геометрии далеко не очевидны. А "простой и естественный" мир Ньютона требует принятия далеко не естественного предположения о существовании мгновенно распространяющихся сигналов