From a slightly different point of view, ignoring w_i interpretation for a moment - it is a bit problematic to continue the sequence "orientation, spin structure ..." Orienting a bundle corresponds to reducing the structure group to a connected one, giving a spin structure - to lifting to a bundle with a simply connected structure group. However, Lie groups automatically have pi_2=0, and if in addition pi_3=0 the group is contractible...
У меня нет ответа, но есть ассоциация. У пространства можно последовательно убивать гомотопические группы. При этом из O(n) получается сначала SO(n), потом Spin(n); а первые два класса Штифеля дают препятствия для соответствующих поднятий для расслоений. Такую последовательность можно продолжить: при заклеивании \pi_3(Spin(n)) (\pi_2 у нее и так нет) получается String(n). Только там препятствие дает первый класс Понтрягина, а не третий класс Штиффеля-Уитни.
>Только там препятствие дает первый класс Понтрягина, а не третий класс Штиффеля-Уитни.
Насколько я помню (я могу ошибаться) препятствием здесь служит «половинный первый класс Понтрягина» (который можно определить в данном случае) - это более тонкий инвариант.
Третий класс ШУ получается действием на второй класс ШУ первым квадратом Стинрода минус произведение первого и второго. Он не является независимым. От предыдущих классов не зависят классы с номерами, равными степени двойки. Я как-то думал над этим вопросом, но видимо, ответ пока не известен общественности. Возможно, про 4 класс что-то написано в книге Стонга, но я точно не могу сказать.
Comments 9
From a slightly different point of view, ignoring w_i interpretation for a moment - it is a bit problematic to continue the sequence "orientation, spin structure ..."
Orienting a bundle corresponds to reducing the structure group to a connected one, giving a spin structure - to lifting to a bundle with a simply connected structure group. However, Lie groups automatically have pi_2=0, and if in addition pi_3=0 the group is contractible...
Reply
Reply
Насколько я помню (я могу ошибаться) препятствием здесь служит
«половинный первый класс Понтрягина» (который можно определить в данном случае) - это более тонкий инвариант.
Reply
От предыдущих классов не зависят классы с номерами, равными степени двойки.
Я как-то думал над этим вопросом, но видимо, ответ пока не известен общественности.
Возможно, про 4 класс что-то написано в книге Стонга, но я точно не могу сказать.
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Leave a comment