Задача

[stzozo]

На плоскости есть заяц, волк и заячья нора.
Заяц бегает со скоростью U, волк со скоростью V.
Волк глупый, бежит всегда строго к зайцу.
Заяц умный.
По какой линии должен бежать заяц, чтобы спастись от волка в норе?
Есть ли ситуации, когда по прямой заяц не спасется, а по кривой спасется?

Comments

[kcmamu]

Если волк между зайцем и норой...

[stzozo]

И если скорость волка ненамного превышает скорость зайца.

[jora0]

Время, $T$ которое может бежать заяц до того, как его схватит волк, определяется из уравнения
$$
L_0=\int_0^T \frac{dt}{V-v cos \theta(t)},
$$
где $v$ и $V$ скорости зайца и волка, $\theta(t)$ --- угол между мгновенной скоростью зайца и направлением от волка.

Дальше нужно понять, существует ли путь, приводящий зайца к норе быстрее, чем за время T, при заданном положении зайца и волка. Красивого решения пока не вижу.

[stzozo]

Угол между скоростью волка и зайца тоже может меняться.

Я довел эту задачу до дифференциального уравнения на одну функцию.

[jora0]

Круто, надо будет подумать, как.
Пока мне приходит в голову только составить функционал конечного расстояния между зайцем и волком (в момент, когда заяц уходит в нору), и как-то его поварьировать. Если есть положительные решения, то заяц от волка может убежать. Но тут надо ещё положение волка задавать, которое тоже есть функционал от пути зайца.

[stzozo]

Ответ для тех, у кого есть фейсбук:
https://www.facebook.com/yura.zozo/posts/10211741303082267

[warlen]

> Есть ли ситуации, когда по прямой заяц не спасется, а по кривой спасется?

Есть. Если волк находится на прямой между зайцем и норой, то заяц, бегущий по прямой, попадется ему, как бы мала ни была его скорость. Но если не ограничивать зайца прямой, то в крайнем случае он может бежать по большой окружности, сначала - в сторону почти противоположную норе. И если даже волк бежит быстрее зайца, но разность скоростей достаточно мала, то заяц пробежит эту окружность раньше.