Занимательная математика

[spamsink]

До меня дошли слухи, что существует как минимум пять чисел 0 < x < 1, представление каждого из которых в двоичной и в троичной системе в точности совпадает, начиная с некоторого знака

Comments

[p2004r]

наверное там 1 или 2 или 3 "в периоде" должно начинаться?

[spamsink]

Может, и в периоде, но точно какая-то последовательность нулей и единиц, которая не все нули.

[b0rg]

Брутфорсом канешн :) мне кажется, 0.1 уже будет хорошим кандидатом :)

[spamsink]

Брутфорсом даже рациональные трудновато будет перебрать.
1/2 - это тривиальный случай. Остальные четыре интересны.

[b0rg]

Я очень не люблю эти математические задачки, т.к. напишешь ответ, а потом 24 часа думаешь и понимаешь, что ответ - не верный. Так и тут, через 2 часа доперло, что
0.1 в двоичной системе будет 0.5 в десятичной
а 0.1 в троичной будет 0.3 в десятичной.

Но лень было редактировать камент, небогоугодное это занятие.

Вообще задача, сводится к онтологической, и тут я беру процесс из методички кровавых режимов: бремя доказательства лежит на обвинении. Т.ч. пущай, кто эти слухи разносит, он их и доказывает и платит за это :)

[spamsink]

0.1 в троичной - это не 0.3, а 0.(3), сиречь одна треть.

[janatem]

А почему обязательно иррациональные. Вот 1/2, например, годится:
1/2 = .0(1)_2
1/2 = .(1)_3

Здесь есть неоднозначность представления (.0(1)_2 = .1(0)_2), которую можно проэксплуатировать, выбрав нужное представление.

[janatem]

Или имеется в виду, что существует общий хвост для всех пяти чисел во всех упомянутых системах счисления (то есть всего десять последовательностей, имеющих общий хвост)?

[spamsink]

Для каждого числа верно, что его представление в двоичной и в троичной системе в точности совпадает, начиная с некоторого знака.

1/2 - тривиальный случай, хочется ещё.

[sevabashirov]

Нашел четыре числа без чита с неоднозначным представлением 1/2=0,0(1). Два различаются лишь в одной позиции, два других - в двух позициях, причем во всех случаях это первые три знака после запятой. Даю возможность остальным тоже подумать.

Если надо, дам наводящую подсказку.

[spamsink]

Одно число без чита я нашёл: час волка. И ещё несколько "часов". И ещё несколько "десятых долей часа". А дальше сдохнуть можно.

[sevabashirov]

Короче, нет смысла больше скрывать - нашел 1/24, 11/24, 3/20 и 7/20, перебрав все X/240 (от 1 до 119, больше 1/2 обязательно содержит двойку в троичном представлении).

Почему 240? Просмотрел неединичные НОДы чисел 2^N-1 и 3^N-1, которые порождают в своих системах дроби с периодом N. И быстро нашел пару 15 и 80 (N=4), причем 15 = 5*3, а 80=5*2^4. То есть 240-е доли в двоичной системе будут записываться в общем виде как 0,xxxx(xxxx), а в троичной - как 0,x(xxxx).

Больше вроде бы таких пар, чтобы (2^N-1)/НОД = 3^P, (3^N-1)/НОД = 2^Q (P,Q - натуральные числа), не вижу.

[spamsink]

Я, собственно, искал примерно так же.
1/240, вроде, тоже годится.