Перепутанность квантовых полей. VII. Две альтернативы. 2. Частицы. А.: sibirets

sibirets

Перепутанность квантовых полей. VII. Две альтернативы. 2. Частицы. А.

May 20, 2010 00:59

Продолжая разговор о разных представлениях о перепутывании, рассмотрим перепутывание квантовых полей с точки зрения частиц.

Полевое описание нередко противопоставляется квантовомеханическому, но это следствие, скорее, различных классов характерных задач, а не идеологических расхождений. Применительно к повседневной жизни (или физике вокруг нас) стандартная квантовая механика содержится в полевом описании. Это обстоятельство, хотя и хорошо известно, но явно обсуждается редко, потерявшись в индуктивном построении пространства Фока. В общих чертах идея заключается в том, что если гамильтониан сохраняет число частиц, то динамика состояний поля распадается на динамику компонент, соответствующих определенном числу тождественных частиц. Каждая такая компонента, оказывается, удовлетворяет соответствующему уравнению Шредингера. Видно в каком направлении можно поразмышлять о том, как системы с нефиксированным числом частиц вкладываются в стандартное квантовомеханическое описание (отмечу любопытные ассоциации на тему динамической декогеренции), но это факультативно.

«Для простоты» рассмотрим случай, когда частицы описываются квантовыми числами, которые принимают конечное число значений (например, спин, поляризация и т.д.). Рассмотрим пример, иллюстрирующий тезис выше. Пусть у нас есть две различимые частицы, тогда общее состояние системы можно представить в виде

$\displaystyle | \psi \rangle = \sum_{k,\kappa} \psi_{k,\kappa} a^\dagger_k b^\dagger_\kappa |0\rangle. \ \ \ \ \ (1)$

Для описания наблюдаемых нам нужна соответствующая матрица плотности. Опуская мотивировку, запишем матрицу плотности (точнее корреляционную функцию, но матрица плотности ей пропорциональна, так что существующая путаница в терминологии особых сложностей не доставляет) первой частицы как

$\displaystyle \rho_{k_1,k_2} = \langle a^\dagger_{k_1} a_{k_2}\rangle, \ \ \ \ \ (2)$

где ${\langle \ldots \rangle \equiv \langle \psi | \ldots | \psi \rangle}$
. Подставляя сюда (1), получаем

$\displaystyle \rho_{k_1,k_2} = \sum_{\kappa} \psi^*_{k_1,\kappa} \psi_{k_2,\kappa}. \ \ \ \ \ (3)$

Таким образом одночастичная матрица плотности первой частицы, действительно, соответствует редуцированной матрице плотности первой частицы, как она определяется в квантовой механике. Легко увидеть, что это распространяется на любые порядки и на любое число нетождественных частиц.

Теперь случай двух тождественных частиц. Состояния записываются подобным образом

$\displaystyle | \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2!}} \sum_{k,\kappa} \psi_{k_1,k_2} a^\dagger_{k_1} a^\dagger_{k_2} |0\rangle, \ \ \ \ \ (4)$

где множитель перед суммой удобно ввести для того, чтобы выполнялось такое же условие нормировки на амплитуды как и в квантовомеханическом случае.

Одночастичная матрица плотности (теперь не имеет смысла говорить про первую и вторую частицу) определяется тем же уравнением (2) и в терминах амплитуд имеет вид

$\displaystyle \rho_{k_1,k_2} = 2\sum_{k} \psi^*_{k_1,k} \psi_{k_2,k}. \ \ \ \ \ (5)$

Здесь множитель ${\mathrm{Tr}[\rho] = 2}$
это число частиц. Для того, чтобы получить настоящую матрицу плотности на него необходимо нормировать. Стоит, однако, заметить, что для перепутывания все эти вопросы с нормировками совершенно неважны, т.к. оно определяется нормированными собственными значениями матрицы плотности.

В квантовомеханическом описании неразличимость частиц вводится как симметризация амплитуд по всем перестановкам. Вводя состояние двухчастичной системы как ${|\psi \rangle = \sum_{k_1,k_2} \psi_{k_1,k_2} |k_1,k_2\rangle}$
с ${\psi_{k_1,k_2} = \psi_{k_2,k_1}}$
получаем

$\displaystyle \rho_{k_1,k_2} = \sum_{k} \psi^*_{k_1,k} \psi_{k_2,k}. \ \ \ \ \ (6)$

Эти примеры должны убедить, что перепутывание квантовых полей с точки зрения отдельных частиц определяется соответствующими матрицами плотностями (корреляционными функциями). Одночастичные матрицы плотности дают перепутывание с окружением, двухчастичные предоставляют возможность исследовать перепутывание частиц в парах и т.д. (в скобках стоит заметить, что вот это самое «и т.д.» скорее всего нереализовано). Приятным для души фактом является то, что редуцированные одночастичные матрицы плотности, получающиеся редукцией многочастичных, совпадают с (2) с точностью до неважной нормировки. Еще одним полезным замечанием является то, что перепутывание, получаемое из одночастичной матрицы плотности, оценивает сверху перепутывание в многочастичных комплексах. То, что это должно быть так, следует из простого рассуждения. Многочастичная матрица плотности учитывает не только перепутывание внутри комплекса, но и с его окружением, т.е. матрица плотности соответствует, вообще говоря, некогерентной смеси. Перепутывание с окружением необходимо исключить. Если я не ошибаюсь, общей явной процедуры не существует. Точнее, идеология понятна, как ее реализовывать не практике, вообще говоря, надо думать в каждом конкретном случае. Поскольку нас будут интересовать только принципиальные вопросы, мы все эти сложности поотбрасываем, так что мерой перепутывания служит энтропия Неймана (нормированной) одночастичной матрицы плотности

$\displaystyle E_N(\rho) = - \mathrm{Tr}[\rho \log(\rho)]. \ \ \ \ \ (7)$

Неперепутанным состояниям соответствуют матрицы плотности ранга 1, максимально перепутанным - пропорциональные единичной матрице (все кругом конечномерное).

Решим простую, но важную задачу. А, впрочем, там будет один технический прием, который понадобится в дальнейшем, поэтому решим ее в следующий раз.

entanglement