Перепутанность квантовых полей. V. Бозоны. 1
Речь пойдет об одном забавном наблюдении. Скорее всего это было сделано несколько десятилетий назад, но рыскать в поисках мне не хочется.
Чтобы не было существенного логического разрыва с предыдущим, набросаю интригу. Исходная проблема заключается в том, чтобы понять перепутанность квантовых полей (и, в частности, тождественных частиц). Есть такой подход, в котором почти по определению симметризованные состояния бозонов являются неперепутанным состоянием. Такой подход мне не нравится, а рассмотрения не убеждают. Главным образом неубежденность появляется из-за того, что предлагаемые примеры кажутся искусственными. Цель разбирательства, в частности, и заключалась в том, чтобы либо получить естественным образом новую формулировку перепутывания тождественных частиц, либо придти к явному противоречию с ней. По-видимому, продолжение предыдущего рассмотрения будет дожидаться приезда в Париж, а сейчас ограничусь только одним контраргументом.
Рассмотрим симметризованное состояние двух бозонов, каждый из которых может находиться в состояниях, которые мы перенумеруем
и
,
В канонической квантовомеханической трактовке это типичный пример перепутанного состояния. Есть ли какие-нибудь основания считать, что то же справедливо и для тождественных частиц? Для этого вкратце набросаем соответствующую качественную теорию для квантовых полей.
Характерной особенностью перепутанности является нафакторизуемость состояния, так что одночастичные состояния оказываются смесями (т.е. матрицы плотности имеют ранг больше единицы). С перспективы общих состояний, т.е. включая смеси, чистые состояния выделяются тем, что на них достигаются максимальные и минимальные значения средних значений операторов
. Вот этим обстоятельством мы и воспользуемся.
Соответствующим аналогом для квантового поля будет рассмотрение среднего значения одночастичных операторов, которые обычным образом представляются через операторы рождения и уничтожения
где
и
пробегают по каким-то наборам квантовых чисел, например, для вышеприведенного примера
. Теперь введем стандартным образом одночастичную корреляционную функцию
так что
, где матричные элементы
определяются коэффициентами
из написанного выше представления. Отсюда, в частности, получается результат аналогичный тому, что имелся для канонической задачи - максимальные и минимальные значения
достигаются (при фиксированном числе частиц, т.е.
) на таких состояниях, для которых
. Такие состояния будем, ничтоже сумняшеся, называть чистыми (одночастичными) состояниями.
Теперь обратимся к (*). В терминах операторов рождения это состояние представляется как
что, как можно проверить, дает одночастичную корреляционную функцию в виде единичной матрицы. Для нее среднее значение любого оператора просто равно его следу. Однако, для любого одночастичного оператора найдется такое двухчастичное состояние, в котором среднее значение будет больше следа. Пполучается, что симметризованное двухбозонное состояние не доставляет максимальное среднее значение (которое, вроде, должно быть
) никакого одночастичного оператора.
Сравивая этот вывод с тем, что в канонической картине характерным свойством чистых состояний является как раз то, что они максимизируют средние значения некоторых операторов, получаем, что представление о (*) как о неперепутанном состоянии несвободно от противоречий. Отсюда есть два выхода. Первый - какую-то часть свойств перепутанных состояний, которые естественным образом появляются в квантовомеханическом описании надо считать случайными, второй - посчитать, что (*) - перепутанно. Есть еще, конечно, вариант, что верно и одно и другое.
Когда интрига набросана, можно переходить к наблюдению.
Поправка. Максимальное среднее значение Tr[\rho] Tr[P]. Нормируем корреляционную функцию на ее след. Далее введем спектральное представление P = p_k \Pi_k, где \Pi_k - соответствующие проекторы. Тогда
= p_k Tr[\rho] Tr[\tilde{\rho} \Pi_k] = Tr[\rho] p_k \tilde{\rho}_{kk} \leq Tr[\rho] \sum_k p_k = Tr[\rho] Tr[P]
Update. Фу, какую ерунду я тут написал. То, что среднее значение не может превышать следа - тривиально и неинтересно. Для оператора общего вида среднее значение ни на каких состояниях этого не достигает. Достижимое максимальное среднее Tr[\rho] p_{max}, где p_{max} - максимальное собственное значение \widehat{P} Доставляют его, очевидно, состояния, соответствующие этому собственному значению.
Чтобы не было существенного логического разрыва с предыдущим, набросаю интригу. Исходная проблема заключается в том, чтобы понять перепутанность квантовых полей (и, в частности, тождественных частиц). Есть такой подход, в котором почти по определению симметризованные состояния бозонов являются неперепутанным состоянием. Такой подход мне не нравится, а рассмотрения не убеждают. Главным образом неубежденность появляется из-за того, что предлагаемые примеры кажутся искусственными. Цель разбирательства, в частности, и заключалась в том, чтобы либо получить естественным образом новую формулировку перепутывания тождественных частиц, либо придти к явному противоречию с ней. По-видимому, продолжение предыдущего рассмотрения будет дожидаться приезда в Париж, а сейчас ограничусь только одним контраргументом.
Рассмотрим симметризованное состояние двух бозонов, каждый из которых может находиться в состояниях, которые мы перенумеруем
и
,
В канонической квантовомеханической трактовке это типичный пример перепутанного состояния. Есть ли какие-нибудь основания считать, что то же справедливо и для тождественных частиц? Для этого вкратце набросаем соответствующую качественную теорию для квантовых полей.
Характерной особенностью перепутанности является нафакторизуемость состояния, так что одночастичные состояния оказываются смесями (т.е. матрицы плотности имеют ранг больше единицы). С перспективы общих состояний, т.е. включая смеси, чистые состояния выделяются тем, что на них достигаются максимальные и минимальные значения средних значений операторов
. Вот этим обстоятельством мы и воспользуемся.
Соответствующим аналогом для квантового поля будет рассмотрение среднего значения одночастичных операторов, которые обычным образом представляются через операторы рождения и уничтожения
где
и
пробегают по каким-то наборам квантовых чисел, например, для вышеприведенного примера
. Теперь введем стандартным образом одночастичную корреляционную функцию
так что
, где матричные элементы
определяются коэффициентами
из написанного выше представления. Отсюда, в частности, получается результат аналогичный тому, что имелся для канонической задачи - максимальные и минимальные значения
достигаются (при фиксированном числе частиц, т.е.
) на таких состояниях, для которых
. Такие состояния будем, ничтоже сумняшеся, называть чистыми (одночастичными) состояниями.
Теперь обратимся к (*). В терминах операторов рождения это состояние представляется как
что, как можно проверить, дает одночастичную корреляционную функцию в виде единичной матрицы. Для нее среднее значение любого оператора просто равно его следу. Однако, для любого одночастичного оператора найдется такое двухчастичное состояние, в котором среднее значение будет больше следа. Пполучается, что симметризованное двухбозонное состояние не доставляет максимальное среднее значение (которое, вроде, должно быть
) никакого одночастичного оператора.
Сравивая этот вывод с тем, что в канонической картине характерным свойством чистых состояний является как раз то, что они максимизируют средние значения некоторых операторов, получаем, что представление о (*) как о неперепутанном состоянии несвободно от противоречий. Отсюда есть два выхода. Первый - какую-то часть свойств перепутанных состояний, которые естественным образом появляются в квантовомеханическом описании надо считать случайными, второй - посчитать, что (*) - перепутанно. Есть еще, конечно, вариант, что верно и одно и другое.
Когда интрига набросана, можно переходить к наблюдению.
Поправка. Максимальное среднее значение Tr[\rho] Tr[P]. Нормируем корреляционную функцию на ее след. Далее введем спектральное представление P = p_k \Pi_k, где \Pi_k - соответствующие проекторы. Тогда
= p_k Tr[\rho] Tr[\tilde{\rho} \Pi_k] = Tr[\rho] p_k \tilde{\rho}_{kk} \leq Tr[\rho] \sum_k p_k = Tr[\rho] Tr[P]
Update. Фу, какую ерунду я тут написал. То, что среднее значение не может превышать следа - тривиально и неинтересно. Для оператора общего вида среднее значение ни на каких состояниях этого не достигает. Достижимое максимальное среднее Tr[\rho] p_{max}, где p_{max} - максимальное собственное значение \widehat{P} Доставляют его, очевидно, состояния, соответствующие этому собственному значению.