Перепутанность квантовых полей IV. Что перепутывается
Еще одно отвлечение, в котором, как ни странно, звучат полезные ключевые слова.
Проведенное выше рассмотрение должно наводить на мысль, что если перепутанность связана с некоторым физическим свойством, то в стандартном рассуждении мы видим только какие-то его отголоски в странной ad hoc формулировке. Действительно, тот факт, что
и
представляют собой частицы нигде не используетяс, точно также можно было бы говорить о некоторых наборах состояний
и
, например, координаты вдоль перпендикулярных осей, или импульс и спин, или (?) импульс и координата. Последние, однако, не являются такими характеристиками, которые подходят для одновременного задания состояния в виде прямого произведения. Возникает естественное желание найти связь между этим свойством “нефакторизуемости” и перепутыванием.
Для это рассмотрим две наблюдаемые со спектральными представлениями
и
. Их коммутатор представляется в виде
Такая запись наглядно показывает, что коммутативность операторов связана с конкретным видом амплитуд
. Если их написать в виде, нарочито напоминающем тот, что появлялся при записи состояний пары,
, на секунду кажется будто увиделась желаемая аналогия, что можно начать разговор о ранге
и вся технология, о которой шла речь раньше, появится сама собой. Но так кажется только на секунду. В самом деле, если операторы коммутируют, то они могут быть одновременно диагонализованы и наоборот. Следовательно
, т.е. собственные векторы коммутирующих наблюдаемых обязательно либо совпадают, либо ортогональны. Здесь же замечу, что только когда они все ортогональны, т.е. в тривиальном случае когда
, можно всерьез говорить о невысоком ранге
, очевидно он нулевой. Если же операторы не коммутируют, то
могут быть какими угодно. Таким образом коммутация связана с факторизацией, но нежестким образом - факторизация достаточна для коммутации, но не обходима - и потому отождествлять их было бы неверным, по-видимому, они отвечают за разную физику. Стоит, однако, заметить, что некоммутация влечет за собой нефакторизуемость.
Так или иначе, с формальной точки зрения нет различия между гильбертовыми пространствами пары частиц и одной частицы, но на “прямом произведении квантовых чисел”. По какой-то причине, однако, такое параметрическое перепутывание особого внимания не получило.