О правиле буравчика

[sibirets]

Наткнулся на любопытный софизм, который демонстрирует нетривиальность сущности физических рассуждений: они верны с точностью до паталогий. Что именно может являться паталогией, однако, не всегда ясно.

Здесь замешиваются интересные эпистемологические проблемы, но влезать в них сейчас не хочется, поэтому сразу перейду к существу дела.

Как известно ток

Comments

[zorgeo]

ашыпка у Вас.

теорема о циркуляции в интегральной форме: Int H . dl = Int j dS, где l вектор перемещения по контуру, а S площадь, ограниченая контуром. (с точностью до констант, зависящих от системы единиц).

в случае плотности тока j= exp(-r)/r имеем:
H*2*pi*R=Int_0^R exp(-r)/r*2*pi*r*dr, где интеграл берется в пределах от нуля до R.

нетрудно посчитать, что H=(1-exp(-R))/R.

[sibirets]

Почему же ошибка? Если бы ошибка была, жизнь была бы проще.

Понятно, что уравнение (1) определяет магнитное поле с точностью до добавок, ротор которых равен нулю. Вот поле B = e_\phi/r доставляет пример такой добавки, ротор которой равен нулю, а циркуляция - нет.

[zorgeo]

минуточку. ротор 1/r равен нулю почти везде. вот в этом "почти" собака зарыта. он не равен нулю в нуле.

ток, соответствующий полю 1/r, это ток в тонком проводе. дельта=функция, если угодно.

то что функция почти везде равна нулю, еще не значит что она тождественно равна нулю, не правда ли.

в ваших рассуждениях качественная ошибка. что собой представляет Ваше распределение тока с точки зрения наблюдателя, находящегося на расстоянии R>>1? наблюдатель видет исчезающе тонкий шнур с током, толщиной 1 и полным током - ну, посчитайте, 2пи, кажется. поэтому на достаточно далеких расстояниях поле должно спадать как 1/r, а вовсе не экспоненциально.

[sibirets]

Правильно, софизм разрешается тем, что нужно аккуратно обращаться с особой точкой в нуле (там поле направлений e_\phi неопределено). Так, например, если записывать теорему о циркуляции так, чтобы исключалась точка с сингулярностью (например, граница поверхности выбирается в виде двух концентрических окружностей), то все становится в порядке: потоки и циркуляции полностью согласуются, как и должно быть.

Фиксировать неопределенность в законе Ампера можно разным образом, в зависимости от физики задачи. Вот, например, в задаче, в ходе разбирательства с которой у меня сформулировался софизм, асимптотика 1/r нефизична. С магнетизмом там связь опосредованная, токов вообще нет, а вот полный поток, условно говоря, e_r \times B, наоборот, оказывается важной величиной, и он должен быть конечным. Как раз и хотелось ввести эффективный ток, чтобы упростить задачу, а упрощение получается несколько условным.

[arky_titan]

кручу-верчу, обмануть хочу? :)

[sibirets]

Не, тут все честно. У меня чуть крыша не поехала: в элементарной, казалось бы, ситуации два разных подхода давали два разных ответа.

Софизм, конечно, неуклюжий получился, но, тем не менее, имеет место быть: если в закон Ампера в форме (1) подставить поле (3) и бездумно вычислить ротор, то плотность тока получается неправильной. А вот если записывать в интегральной форме, то все в порядке.

Собственно, когда к электродинамике задачу сводишь, то становится понятным, что там за подводные камни и как их надо обруливать.

[arky_titan]

Надо попрактиковаться в теоретических выкладках, а то я совсем уж глупым стал :) Строим крутые хайтечные устройства, а понимание того, как они работают на уровне 7-го класса :)

happy birthday!

[prof_yura]

С днем рождения! Хотелось бы продолжить наши обсуждения математики/физики . . .

Re: happy birthday!

[sibirets]

Спасибо большое! Последние года два я был не в лучшей форме, но, вроде бы, дела пошли к лучшему.

RE: Re: happy birthday!

[prof_yura]

Отлично! Тем более, стоит продолжить . . .