О правиле буравчика
Наткнулся на любопытный софизм, который демонстрирует нетривиальность сущности физических рассуждений: они верны с точностью до паталогий. Что именно может являться паталогией, однако, не всегда ясно.
Здесь замешиваются интересные эпистемологические проблемы, но влезать в них сейчас не хочется, поэтому сразу перейду к существу дела.
Как известно ток ( Read more... )
теорема о циркуляции в интегральной форме: Int H . dl = Int j dS, где l вектор перемещения по контуру, а S площадь, ограниченая контуром. (с точностью до констант, зависящих от системы единиц).
в случае плотности тока j= exp(-r)/r имеем:
H*2*pi*R=Int_0^R exp(-r)/r*2*pi*r*dr, где интеграл берется в пределах от нуля до R.
нетрудно посчитать, что H=(1-exp(-R))/R.
Reply
Понятно, что уравнение (1) определяет магнитное поле с точностью до добавок, ротор которых равен нулю. Вот поле B = e_\phi/r доставляет пример такой добавки, ротор которой равен нулю, а циркуляция - нет.
Reply
ток, соответствующий полю 1/r, это ток в тонком проводе. дельта=функция, если угодно.
то что функция почти везде равна нулю, еще не значит что она тождественно равна нулю, не правда ли.
в ваших рассуждениях качественная ошибка. что собой представляет Ваше распределение тока с точки зрения наблюдателя, находящегося на расстоянии R>>1? наблюдатель видет исчезающе тонкий шнур с током, толщиной 1 и полным током - ну, посчитайте, 2пи, кажется. поэтому на достаточно далеких расстояниях поле должно спадать как 1/r, а вовсе не экспоненциально.
Reply
Фиксировать неопределенность в законе Ампера можно разным образом, в зависимости от физики задачи. Вот, например, в задаче, в ходе разбирательства с которой у меня сформулировался софизм, асимптотика 1/r нефизична. С магнетизмом там связь опосредованная, токов вообще нет, а вот полный поток, условно говоря, e_r \times B, наоборот, оказывается важной величиной, и он должен быть конечным. Как раз и хотелось ввести эффективный ток, чтобы упростить задачу, а упрощение получается несколько условным.
Reply
если полный поток конечен, то, казалось бы, поле должно спадать как 1/r. в силу размерности задачи.
точно так же в 3d, в случае теоремы гаусса. если полный заряд конечен, значет поле спадает как r^{-2}.
но Вы говорите, что это не электродинамика...
Reply
Там у меня естественным образом накладывается условие нормировки на величину вроде \int B(r) r dr, поэтому B должно спадать быстрее, чем квадрат расстояния от начала координат.
Reply
Поучительно также посмотреть на асимптотики на больших расстояниях. Ваше распределение тока явно несет конечный полный ток. Поэтому на больших расстояниях должно воспроизводиться поле тонкого провода, несущего этот ток. У zorgeo так и есть, а у Вас поле вдалеке обращается в нуль, как если б полный ток через сечение был на самом деле нуль.
То есть Ваше решение --- это правильное решение минус поле тонкого провода (дельта-функция при r=0) с полным током.
Reply
Понятно, что этот ток как раз направлен так, чтобы скомпенсировать некий "правильный" ток, который сидит на маленьких расстояниях (в тонком проводе), так чтобы при уходе на бесконечность полный ток оказался равным нулю.
Я вот как раз пытаюсь понять, как бы на эту задачу взглянуть так, чтобы и циркуляции с потоками согласовывались и лишних токов не надо вводить. Один вариант - правильно выбирать поверхность, через которую считается поток. Но он мне для моих целей не подходит. Может, в самом деле, фиктивный ток ввести.
Reply
(Чем-то это все на сверхпроводящие вихри похоже.)
Если задача у Вас на самом деле обратная, и ток с дельта-функцией Вас не устраивает, то можно попытаться регуляризовать сингулярность. Скажем, можно сингулярность 1/r в поле переписать вот так: r / (r^2 + a^2), где a малый радиус. Тогда появится дополнительный ток вида a^2/(r^2 + a^2)^2, что и есть регуляризация дельта-функции. Направлен он будет туда, куда надо. Но тут уж надо смотреть на детали конкретной задачи.
Reply
Reply
Leave a comment