Альтернативное мракобесие. Быстрые разумом.
Телепатическое чтение книг: перед наступлением темных веков в этом частенько упражнялись, да так успешно, что переставали читать вовсе; всем и так было известно, что в них содержалось, что там правильно, а что неправильно. Такого рода умение особенно характерно для публики, состоящей из знатоков и ценителей. Варвар еще может прочитать книгу свежими глазами, но уж ценитель - никогда. Книги становятся элементами декора, перьями в хвостах павлинов.
Я не исключение. Помню, в середине 90х попалась мне в университетской лавке только вышедшая тогда книжка комментариев Чандрасекара к Началам Ньютона. Чандрасекар в ней проходит по всем трем книгам, изменив порядок изложения для большей ясности, и наново доказывает все предложения и поучения, используя анализ, векторы и т. п. (это своего рода Шулхан арух - накрытый стол - приложенный к лабиринтам Талмуда). Я был поражен, насколько изложенное не стыковалось с тем, что я думал (!) написано в Началах - их не открывая.
Курсы физики мало или вовсе не учили тому, что (по идее) д.б. стать призванием их идеального читателя.
Они сообщали законы, писанные на каменных скрижалях, после чего начиналась дедуктивные упражнения. Откуда брались законы было неясно. Уравнения скоро выходили из-под контроля, число решаемых задач было ограничено, и тогда (по мере необходимости) подключалась индукция, но по минимуму. В таком виде физика не смогла бы ни возникнуть, ни развиваться. Вероятно, для будущих ученых было бы полезнее узнать, как открывать законы, создавать модели, но об этом почти не писали. Учебники сочинялись для всех (т.е., в первую очередь для пользователей), учеными становились единицы, которым, возможно, такая информация не была нужна, т.к. творили они по наитию, без наблюдений, как это делают другие. Я таких людей встречал, но они редки. Подобные умения чаще приобретались в ходе ученичества у мастера; разумеется, без таланта научиться невозможно, но невозможно и на пустом месте стать Фарадеем и Бахом. В прошлом было то же самое, но учителей было мало, и чем далее, тем меньше. Логически из этого следовало, что когда-то такому искусству учились чаще из книг, чем друг от друга. Но каких книг?
Я, конечно, слышал, какое сильное влияние оказали Начала на современников, но списывал это на слабую матчасть. Тут следует остановиться подробнее. Поскольку я не ведал, как были открыты (или хотя бы изложены) законы механики, я (как водится в таких случаях) имел свои собственные соображения о том, как я бы взялся за дело. Для начала я бы изобрел анализ. Быстрый разум для этого не нужен: Лейбниц справился с этим самостоятельно, а не справился бы он, так были Гюйгенс, Бернулли и иже с ними. Закон тяготения вывести не представлялось трудным: достаточно рассмотреть движение по круговой траектории. Про ускорение было известно от Галилея через Гюйгенса, обобщение на круговое движение было известно Бернулли. Форма закона тяготения следует из размерных соображений, исходя из 3-го закона Кеплера. То что, это 1/r2 подозревалось тогда многими. Собственно, непосредственной причиной написания Начал был вопрос Гука к Ньютону: знает ли тот общий случай движения тел с таким законом? Ньютон ответил, что знает - коники; доказательство он потерял, но может восстановить. Диалог послужил толчком к написанию Начал (Ньютон тогда к физике остыл, переключившись на алхимию).
Казалось, зная анализ, догадаться до кинематики несложно. Движение маятника, пружины и т. п. даются гармониками, т.е. являются решениями дифф. уравнений второго порядка. Поэтому законы должны связывать вторые производные (ускорения) с координатами. Коэффициенты можно подобрать из размерных соображений и незатейливых экспериментов. Концептуальная сложность, как я ее видел, была в переходе от кинематики к динамике: отождествление зависящих от координат величин с силами, векторные правила их сложения и т. д. Однако, мне это представлялось не столько продуктом гения, сколько недоразумением: Ньютон не заметил, что уравнения допускают альтернативную формулировку в форме закона сохранения энергии. Сложение сил было сложением градиентов потенциалов, сложение потенциалов - наиболее простой формой их суперпозиции. Перевод динамики на язык сил мало помогал небесной механике, его достоинством была возможность учитывать вязкие силы, но сам Ньютон это делал мало (только во 2-й книге). Читать Начала было не нужно: "я и так знал, что там будет". Там что-то в таком духе, но изложенное на языке геометрического анализа и конических сечений. Разбирать заковыристые чертежи и малоактуальные теоремы представлялось потерей времени. Гений Ньютона заключался в том, что он продрался сквозь терния на такой смеси, что требует хитроумия, но можно было подождать лет двадцать и обойтись без утомительных упражнений.
Книжка Чандрасекара была прививкой против телепатического чтения. Приведу пример, который меня тогда поразил; после него я решил, что надо сесть и прочесть Начала, а не выпендриваться всезнайством. Это начало 1-й книги, предложение IV.
Я ожидал там найти стандартную (но геометризированную) демонстрацию, как закон тяготения приводит к движению по эллипсу, которое содержали все учебники. Но Ньютон доказывал не это. Он доказывал обратное: движение по эллипсу в комбинации с законом площадей (1-й и 2-й закон Кеплера) требует того, что ускорение определенным образом зависит от положения тела - чисто геометрический факт. Из него, кстати следовало же, что при 1/r5 законе возможно движение по дуге окружности с центром приложения в точке этой окружности - нетривиальное следствие, о котором я не знал и не догадывался.
Умеючи, предложение IV просто показать с помощью анализа
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/Newton%20from%20Kepler%201993.pdf
но в прямую сторону доказать куда проще.
Я сразу подумал: а проще ли? Один "простой" вывод был основан на векторном анализе, который Ньютон не знал. Другой - на законе сохранения энергии, который Ньютон не знал. Требовалось так же интегрирование; не факт, что Ньютон знал такие квадратуры. Третий способ требовал замены переменных в дифф. уравнении - неочевидно, насколько это было просто для Ньютона. Зато обратная задача допускала эффектную геометрическую демонстрацию. Ньютон не доказывал явным образом то, что его спросил Гук. После решения обратной задачи следовала туманная фраза, которая менялась в каждом из трех изданий Начал (в первом издании это было "очевидно, что...").
...For the focus, the point of contact, and the position of the tangent, being given, a conic section may be described, which at that point shall have a given curvature. But the curvature is given from the centripetal force and velocity of the body being given; and two orbits, touching one the other, cannot be described by the same centripetal force.
Кому интересно, могут почитать интерпретации этой фразы.
http://www.mathpages.com/home/kmath658/kmath658.htm
Из обратной теоремы прямая, вообще говоря, не следует, как заметил Бернулли. Если закон тяготения 1/r3, то это неверно: точка может двигаться как по логарифмической, так и по гиперболической спирали давая один закон движения. Ньютон предлагает тонкий аргумент:
...Newton’s proof relies on the fact that the equations of motion involve only the second derivative of the particle’s position, so, given the initial position, direction, and speed of the particle, these equations can be uniquely integrated to give the path of a particle - a fact which is fairly intuitive because the equations explicitly give the second derivative of the particle’s position as a function of its position. Furthermore, Newton had shown that all possible initial conditions can be achieved by a conic through a given point with a given focus - assuming an inverse square force. It follows that all possible solution paths for an inverse square force are conics. In contrast, a similar argument cannot be made for an inverse cube force and logarithmic spirals, because such spirals cannot produce all possible initial conditions. The other possible initial conditions correspond to the other species of paths that satisfy an inverse cube force.
Ко времени 3-го издания прямая задача была уже решена аналитически, но сам Ньютон так и не включил доказательство в Начала, вместо этого тремя разными способами излагая качественное рассуждение, приведенное выше. Источником закона является оно + обратная теорема, а не те рассуждения, которые я себе придумал. Для современников (и каких!) оно оказалось настолько необычным, что потребовало три(!) издания и прямой демонстрации аналитическими методами; даже для Бернулли (который без труда аналитически решил кинематические уравнения для 1/r3 закона) подобный способ рассуждения оказался слишком непривычным; это была новая логическая конструкция доказательства. Сложным аргумент оказался и для меня: без подробного объяснения я тоже не понял, почему из обратной задачи "очевидна" прямая. Проделать вычисления я мог, а уловить "очевидность" - нет, хотя на ней держалось здание Начал. Выстроить аргумент подобным образом мог только гений. Негениальный последователь (и мы за ним) решали задачу в лоб.
Начала были ярчайшим примером индуктивного мышления, и производили сильнейшее впечатление столетия после написания. Немудрено, какое действие они оказали на современников. Дело не в том, что они учили, каковы законы физики - в этом смысле они были путаной книжкой, которая практически сразу была переписана в удобоваримый вид, который нам привычен. Этот вид и отождествляется с тем, что написано в книге, которую все знают, но никто не читает. Это не новое явление: началось сразу. Начала о другом: как рассуждает разум, когда ищет законы природы. Таких книг очень мало и каждая на вес золота.
Когда Чандрасекар писал свои комментарии (а ему было, чем заняться), удивлялись, зачем ему это понадобилось. Он только молчал в ответ (он вообще был молчун и себе на уме). Известно, какими окольными путями шли до нас древние книги; все же редко дедуктивное знание умирало полностью, зато индуктивное - часто. Цепочкам легко прерваться, цивилизации недолговечны. О будущем много говорят, но почти не заботятся о нем, надеясь на авось, что самонадеянно и глупо.
Какие-то знания сохранятся, но не искусство их обретения. В псевдофилософских трактатах о "научном методе" ничего ценного не было, нет, и не будет; это пособия по смешиванию красок для слепоглухонемых. В Началах же все это есть в концентрированном виде - и хватит там этого добра еще на несколько тысячелетий, если их донести до потомков, живущих в эпохи упадка, как до нас донесли Начала Евклида. Греки тоже много чего написали после, но все это было несложно переоткрыть, тогда как настрой ума переоткрыть сложно или даже невозможно.
Кстати, это тоже кто-то должен сообразить. Я рад, что Чандрасекар позаботился; быстрый разумом был человек.
Я не исключение. Помню, в середине 90х попалась мне в университетской лавке только вышедшая тогда книжка комментариев Чандрасекара к Началам Ньютона. Чандрасекар в ней проходит по всем трем книгам, изменив порядок изложения для большей ясности, и наново доказывает все предложения и поучения, используя анализ, векторы и т. п. (это своего рода Шулхан арух - накрытый стол - приложенный к лабиринтам Талмуда). Я был поражен, насколько изложенное не стыковалось с тем, что я думал (!) написано в Началах - их не открывая.
Курсы физики мало или вовсе не учили тому, что (по идее) д.б. стать призванием их идеального читателя.
Они сообщали законы, писанные на каменных скрижалях, после чего начиналась дедуктивные упражнения. Откуда брались законы было неясно. Уравнения скоро выходили из-под контроля, число решаемых задач было ограничено, и тогда (по мере необходимости) подключалась индукция, но по минимуму. В таком виде физика не смогла бы ни возникнуть, ни развиваться. Вероятно, для будущих ученых было бы полезнее узнать, как открывать законы, создавать модели, но об этом почти не писали. Учебники сочинялись для всех (т.е., в первую очередь для пользователей), учеными становились единицы, которым, возможно, такая информация не была нужна, т.к. творили они по наитию, без наблюдений, как это делают другие. Я таких людей встречал, но они редки. Подобные умения чаще приобретались в ходе ученичества у мастера; разумеется, без таланта научиться невозможно, но невозможно и на пустом месте стать Фарадеем и Бахом. В прошлом было то же самое, но учителей было мало, и чем далее, тем меньше. Логически из этого следовало, что когда-то такому искусству учились чаще из книг, чем друг от друга. Но каких книг?
Я, конечно, слышал, какое сильное влияние оказали Начала на современников, но списывал это на слабую матчасть. Тут следует остановиться подробнее. Поскольку я не ведал, как были открыты (или хотя бы изложены) законы механики, я (как водится в таких случаях) имел свои собственные соображения о том, как я бы взялся за дело. Для начала я бы изобрел анализ. Быстрый разум для этого не нужен: Лейбниц справился с этим самостоятельно, а не справился бы он, так были Гюйгенс, Бернулли и иже с ними. Закон тяготения вывести не представлялось трудным: достаточно рассмотреть движение по круговой траектории. Про ускорение было известно от Галилея через Гюйгенса, обобщение на круговое движение было известно Бернулли. Форма закона тяготения следует из размерных соображений, исходя из 3-го закона Кеплера. То что, это 1/r2 подозревалось тогда многими. Собственно, непосредственной причиной написания Начал был вопрос Гука к Ньютону: знает ли тот общий случай движения тел с таким законом? Ньютон ответил, что знает - коники; доказательство он потерял, но может восстановить. Диалог послужил толчком к написанию Начал (Ньютон тогда к физике остыл, переключившись на алхимию).
Казалось, зная анализ, догадаться до кинематики несложно. Движение маятника, пружины и т. п. даются гармониками, т.е. являются решениями дифф. уравнений второго порядка. Поэтому законы должны связывать вторые производные (ускорения) с координатами. Коэффициенты можно подобрать из размерных соображений и незатейливых экспериментов. Концептуальная сложность, как я ее видел, была в переходе от кинематики к динамике: отождествление зависящих от координат величин с силами, векторные правила их сложения и т. д. Однако, мне это представлялось не столько продуктом гения, сколько недоразумением: Ньютон не заметил, что уравнения допускают альтернативную формулировку в форме закона сохранения энергии. Сложение сил было сложением градиентов потенциалов, сложение потенциалов - наиболее простой формой их суперпозиции. Перевод динамики на язык сил мало помогал небесной механике, его достоинством была возможность учитывать вязкие силы, но сам Ньютон это делал мало (только во 2-й книге). Читать Начала было не нужно: "я и так знал, что там будет". Там что-то в таком духе, но изложенное на языке геометрического анализа и конических сечений. Разбирать заковыристые чертежи и малоактуальные теоремы представлялось потерей времени. Гений Ньютона заключался в том, что он продрался сквозь терния на такой смеси, что требует хитроумия, но можно было подождать лет двадцать и обойтись без утомительных упражнений.
Книжка Чандрасекара была прививкой против телепатического чтения. Приведу пример, который меня тогда поразил; после него я решил, что надо сесть и прочесть Начала, а не выпендриваться всезнайством. Это начало 1-й книги, предложение IV.
Я ожидал там найти стандартную (но геометризированную) демонстрацию, как закон тяготения приводит к движению по эллипсу, которое содержали все учебники. Но Ньютон доказывал не это. Он доказывал обратное: движение по эллипсу в комбинации с законом площадей (1-й и 2-й закон Кеплера) требует того, что ускорение определенным образом зависит от положения тела - чисто геометрический факт. Из него, кстати следовало же, что при 1/r5 законе возможно движение по дуге окружности с центром приложения в точке этой окружности - нетривиальное следствие, о котором я не знал и не догадывался.
Умеючи, предложение IV просто показать с помощью анализа
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/Newton%20from%20Kepler%201993.pdf
но в прямую сторону доказать куда проще.
Я сразу подумал: а проще ли? Один "простой" вывод был основан на векторном анализе, который Ньютон не знал. Другой - на законе сохранения энергии, который Ньютон не знал. Требовалось так же интегрирование; не факт, что Ньютон знал такие квадратуры. Третий способ требовал замены переменных в дифф. уравнении - неочевидно, насколько это было просто для Ньютона. Зато обратная задача допускала эффектную геометрическую демонстрацию. Ньютон не доказывал явным образом то, что его спросил Гук. После решения обратной задачи следовала туманная фраза, которая менялась в каждом из трех изданий Начал (в первом издании это было "очевидно, что...").
...For the focus, the point of contact, and the position of the tangent, being given, a conic section may be described, which at that point shall have a given curvature. But the curvature is given from the centripetal force and velocity of the body being given; and two orbits, touching one the other, cannot be described by the same centripetal force.
Кому интересно, могут почитать интерпретации этой фразы.
http://www.mathpages.com/home/kmath658/kmath658.htm
Из обратной теоремы прямая, вообще говоря, не следует, как заметил Бернулли. Если закон тяготения 1/r3, то это неверно: точка может двигаться как по логарифмической, так и по гиперболической спирали давая один закон движения. Ньютон предлагает тонкий аргумент:
...Newton’s proof relies on the fact that the equations of motion involve only the second derivative of the particle’s position, so, given the initial position, direction, and speed of the particle, these equations can be uniquely integrated to give the path of a particle - a fact which is fairly intuitive because the equations explicitly give the second derivative of the particle’s position as a function of its position. Furthermore, Newton had shown that all possible initial conditions can be achieved by a conic through a given point with a given focus - assuming an inverse square force. It follows that all possible solution paths for an inverse square force are conics. In contrast, a similar argument cannot be made for an inverse cube force and logarithmic spirals, because such spirals cannot produce all possible initial conditions. The other possible initial conditions correspond to the other species of paths that satisfy an inverse cube force.
Ко времени 3-го издания прямая задача была уже решена аналитически, но сам Ньютон так и не включил доказательство в Начала, вместо этого тремя разными способами излагая качественное рассуждение, приведенное выше. Источником закона является оно + обратная теорема, а не те рассуждения, которые я себе придумал. Для современников (и каких!) оно оказалось настолько необычным, что потребовало три(!) издания и прямой демонстрации аналитическими методами; даже для Бернулли (который без труда аналитически решил кинематические уравнения для 1/r3 закона) подобный способ рассуждения оказался слишком непривычным; это была новая логическая конструкция доказательства. Сложным аргумент оказался и для меня: без подробного объяснения я тоже не понял, почему из обратной задачи "очевидна" прямая. Проделать вычисления я мог, а уловить "очевидность" - нет, хотя на ней держалось здание Начал. Выстроить аргумент подобным образом мог только гений. Негениальный последователь (и мы за ним) решали задачу в лоб.
Начала были ярчайшим примером индуктивного мышления, и производили сильнейшее впечатление столетия после написания. Немудрено, какое действие они оказали на современников. Дело не в том, что они учили, каковы законы физики - в этом смысле они были путаной книжкой, которая практически сразу была переписана в удобоваримый вид, который нам привычен. Этот вид и отождествляется с тем, что написано в книге, которую все знают, но никто не читает. Это не новое явление: началось сразу. Начала о другом: как рассуждает разум, когда ищет законы природы. Таких книг очень мало и каждая на вес золота.
Когда Чандрасекар писал свои комментарии (а ему было, чем заняться), удивлялись, зачем ему это понадобилось. Он только молчал в ответ (он вообще был молчун и себе на уме). Известно, какими окольными путями шли до нас древние книги; все же редко дедуктивное знание умирало полностью, зато индуктивное - часто. Цепочкам легко прерваться, цивилизации недолговечны. О будущем много говорят, но почти не заботятся о нем, надеясь на авось, что самонадеянно и глупо.
Какие-то знания сохранятся, но не искусство их обретения. В псевдофилософских трактатах о "научном методе" ничего ценного не было, нет, и не будет; это пособия по смешиванию красок для слепоглухонемых. В Началах же все это есть в концентрированном виде - и хватит там этого добра еще на несколько тысячелетий, если их донести до потомков, живущих в эпохи упадка, как до нас донесли Начала Евклида. Греки тоже много чего написали после, но все это было несложно переоткрыть, тогда как настрой ума переоткрыть сложно или даже невозможно.
Кстати, это тоже кто-то должен сообразить. Я рад, что Чандрасекар позаботился; быстрый разумом был человек.