Оптимальная система счисления 2.0
Конструктивный разговор в предыдущем посте со spamsink, а также vmenshov и doncunita принес плоды. Было высказано, что полученная формула q(n) = lg(n) / n * d(n) * 2,5 слишком завышает позиции систем счисления с большими основаниями; далее, не все делители одинаково полезны - одно дело взаимно простые, а другое - степени простого числа, наличие которых не избавляет дроби в какой-либо системе от периодов.
Вопрос был в том, какие коррективы можно внести в формулу, не спускаясь до индивидуального подхода в абсолютный субъективизм. Еще раз поделить на n - тогда впереди окажется вовсе двоичная, что явно не так. Наконец часов десять назад меня осенило: вместо d(n) нужно также взять его логарифм! Если по основанию 2, то для чисел без степеней в каноническом разложении он будет совпадать с количеством простых делителей (30=2х3х5, 8 делителей, 3 простых делителя). А степени как раз ценятся меньше: 18=2х3х3, 6 делителей --> логарифм 2,585 вместо 3, 24=2х2х2х3, 8 делителей --> логарифм 3 вместо 4. Если вы понимаете, о чем я.
Далее, раз уж берем двоичный логарифм lb(d(n)), то для порядка возьмем и lb(n) вместо lg(n) - разница будет только в коэффициенте пропорциональности. Можно вновь домножить до q(10) = 1, но можно оставить и без этого, будет даже изящнее. Итак, формула коэффициента эргономичности позиционной системы счисления:
q(n) = lb(n) * lb(d(n)) / n, где lb - обозначение логарифма по основанию 2, d(n) - количество делителей n. Нормированный по десятке q'(n) также привел. Таблица лидеров в данном случае выглядит так:
n
d(n)
lb(n)
lb(d(n))
q(n)
q'(n)
6
4
2,585
2
0,862
1,297
4
3
2
1,585
0,792
1,193
12
6
3,585
2,585
0,772
1,162
8
4
3
2
0,750
1,129
10
4
3,322
2
0,664
1,000
18
6
4,170
2,585
0,599
0,901
16
5
4
2,322
0,580
0,874
24
8
4,585
3
0,573
0,863
20
6
4,322
2,585
0,559
0,841
9
3
3,170
1,585
0,558
0,840
14
4
3,807
2
0,544
0,819
3
2
1,585
1
0,528
0,795
15
4
3,907
2
0,521
0,784
2
2
1
1
0,500
0,753
30
8
4,907
3
0,491
0,739
5
2
2,322
1
0,464
0,699
36
9
5,170
3,170
0,455
0,685
28
6
4,807
2,585
0,444
0,668
Красота. А наиболее удобной в данном случае следует признать систему счисления по основанию 6. Преимущества перед десятичной - 6 делится на 2 и 3 вместо 2 и 5, а на 3 приходится делить чаще; таблица умножения существенно короче и мнемоничнее, в то время как числа длиннее лишь на четверть.
Вопрос был в том, какие коррективы можно внести в формулу, не спускаясь до индивидуального подхода в абсолютный субъективизм. Еще раз поделить на n - тогда впереди окажется вовсе двоичная, что явно не так. Наконец часов десять назад меня осенило: вместо d(n) нужно также взять его логарифм! Если по основанию 2, то для чисел без степеней в каноническом разложении он будет совпадать с количеством простых делителей (30=2х3х5, 8 делителей, 3 простых делителя). А степени как раз ценятся меньше: 18=2х3х3, 6 делителей --> логарифм 2,585 вместо 3, 24=2х2х2х3, 8 делителей --> логарифм 3 вместо 4. Если вы понимаете, о чем я.
Далее, раз уж берем двоичный логарифм lb(d(n)), то для порядка возьмем и lb(n) вместо lg(n) - разница будет только в коэффициенте пропорциональности. Можно вновь домножить до q(10) = 1, но можно оставить и без этого, будет даже изящнее. Итак, формула коэффициента эргономичности позиционной системы счисления:
q(n) = lb(n) * lb(d(n)) / n, где lb - обозначение логарифма по основанию 2, d(n) - количество делителей n. Нормированный по десятке q'(n) также привел. Таблица лидеров в данном случае выглядит так:
n
d(n)
lb(n)
lb(d(n))
q(n)
q'(n)
6
4
2,585
2
0,862
1,297
4
3
2
1,585
0,792
1,193
12
6
3,585
2,585
0,772
1,162
8
4
3
2
0,750
1,129
10
4
3,322
2
0,664
1,000
18
6
4,170
2,585
0,599
0,901
16
5
4
2,322
0,580
0,874
24
8
4,585
3
0,573
0,863
20
6
4,322
2,585
0,559
0,841
9
3
3,170
1,585
0,558
0,840
14
4
3,807
2
0,544
0,819
3
2
1,585
1
0,528
0,795
15
4
3,907
2
0,521
0,784
2
2
1
1
0,500
0,753
30
8
4,907
3
0,491
0,739
5
2
2,322
1
0,464
0,699
36
9
5,170
3,170
0,455
0,685
28
6
4,807
2,585
0,444
0,668
Красота. А наиболее удобной в данном случае следует признать систему счисления по основанию 6. Преимущества перед десятичной - 6 делится на 2 и 3 вместо 2 и 5, а на 3 приходится делить чаще; таблица умножения существенно короче и мнемоничнее, в то время как числа длиннее лишь на четверть.