Вопрос про ультрафильтры

[posic]

Какую логическую силу имеет утверждение о существовании для любого кардинала каппа множества X (произвольной мощности) вместе с каппа-аддитивным ультрафильтром на нем? Это как существование измеримого кардинала или это доказуемо в ZFC?

Comments

[oblomov_jerusal]

По-моему, существование нетривиального счетно-аддитивного ультрафильтра равносильно существованию измеримого кардинала.

[posic]

Например, в книжке Chen Chung Chang, Model Theory, которая здесь упоминалась. Или в книжке Шёнфилда "Математическая логика". И вообще, по-моему, везде.

[marina_p]

Chen Chung Chang не нашла.
В Шенфилде -- там это так мимоходом, и нет ощущения, что он вводит стандартное определение (ему нужна только аксиома существования такого -- измеримого по вашему определению -- кардинала, а не само по себе понятие; а ответ на вопрос существования такого кардинала не зависит от того, каким определением мы пользуемся). Кстати, он счётные множества оттуда исключает :-)

Вообще, честно говоря, я бы при попытке понять, какая терминология стандартна, скорее ориентировалась на книги по теории множеств, а не по мат.логике (в которых эти вопросы вспомогательные, и следить за чёткостью терминологии из параллельной области не обязательно).

[posic]

Зайдите на amazon.com, заведите себе account, если у вас нет, сделайте поиск на Chang, Model theory, на странице этой книги кликните на Search inside another edition of this book, сделайте поиск на measurable cardinal, кликните на страницу 229.

Теорию множеств сейчас считают одним из разделов математической логики, наряду с теорией моделей, теорией доказательств и теорией рекурсии, так мне помнится.

[marina_p]

Всё сделала, но эту страницу мне не показывают.

There are several reasons why your account may not be eligible to view Search Inside! pages. They are:

If your purchase is recent, it may not have shipped from our warehouse. You must have a completed order in your order history. An order is not complete until all of the items in the order have shipped.

Я так поняла, что этот сервис -- для тех, кто у них уже чего-то покупал :-)

[posic]

Жаль. Цитаты: A cardinal \alpha is said to be measurable iff there exists a nonprincipal \alpha-complete ultrafilter over \alpha. Obviously, \omega is measurable. We shall learn from the results below that the first uncountable measurable cardinal, if it exists at all, must be very large. ...

Ранее было: Let \alpha be an infinite cardinal. A filter D over I is said to be \alpha-complete iff the intersection of any non-empty set of fewer than \alpha elements of D belongs to D, that is ...

[justpasha]

По-моему, эта книжка есть в Колхозе или еще где, но на всякий случай: http://justpasha.org/math/links/books/files/chang-keisler.pdf . Это русский перевод с 1-го издания (1973).

[marina_p]

Спасибо, я скачала!
Оназывается, она и у нас в библиотеке есть.

[marina_p]

Нашла в библиотеке 2-е, пересмотренное издание "Set theory" Куратовского, Мостовского (1976 год).

Они определяют каппа-2 измеримый кардинал (на котором существует нетривиальный замкнутый относительно пересечений мощности строго меньшей каппа ультрафильтр). И просто "измеримый кардинал" -- каппа называется измеримым, если он каппа-2 измеримый. Так что терминология действительно сменилась :-)

И доказывают, в частности, теорему, что если x наименьший y-2-измеримый кардинал, то он является и x-2-измеримым.

[marina_p]

А, увидела, что вы выше пишете --
"ультрафильтр D каппа-аддитивен (замкнут относительно пересечений семейств мощности строго меньшей каппа")

В такой формулировке такой максимальный кардинал, конечно, существует.

Но вообще какое-то неудобное определение. Я с таким никогда не сталкивалась, везде, где я видела, используют этот термин (и для мер, и для идеалов) в значении "замкнут относительно объединений семейств мощности не более каппа".
Ну и конечную аддитивность в понятном смысле.

У вас же в этом определении получается, что то, что обычно называется конечной аддитивностью, надо называть сигма-аддитивностью, а то, что обычно называется сигма-аддитивностью, -- сигма_1-аддитивностью...

[marina_p]

Нет, всё равно непонятно. Эти ваши слова -- про каппа-аддитивность, а не про измеримость.

Давайте согласуем определения.
Я под измеримым кардиналом понимаю такой кардинал, что на нём существует счётно-мультипликативный ;) ультрафильтр.
А вы?

[posic]

http://community.livejournal.com/ru_math/550930.html?replyto=4780818

[posic]

А почему? И где об этом почитать?

[oblomov_jerusal]

Я читал в Cheng, Model theory

[posic]

Спасибо.

[marina_p]

В "Теории множеств" Куратовского-Мостовского есть про это, и вообще про измеримые кардиналы. Например, если какой-то ультрафильтр сигма-аддитивен в вашей терминологии (кстати, почему "аддитивен"? Я бы сказала "сигма-мультипликативен"), то он каппа-аддитивен для любого неизмеримого каппа.