2*2=4, или Аксиомы арифметики
Все знают, что 2*2=4, а вот доказать это могут немногие. Один из таких людей - мой дорогой френд falcao поделится с нами этим доказательством, а заодно и расскажет об аксиомах арифметики. Дадим ему слово:
"Этот текст -- популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем, нет смысла знакомиться с написанным. Для профессиональных математиков всё излагаемое является стандартным.
Всякий, кто учился в школе, слышал о том, что в геометрии есть аксиомы. Ну, типа того, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Полный список аксиом геометрии довольно длинный, и в подробностях это дело в школе не изучается. Но все или почти все так или иначе знают, что на основании аксиом при помощи логических рассуждений доказывают разные теоремы. Например, знаменитую теорему Пифагора.
А как дело обстоит в арифметике? У многих это слово ассоциируется с любимой таблицей умножения, действиями над числами вроде сложения или умножения "столбиком". Как ни странно, в школе ни слова не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на аксиомах подобно тому, как это делается в геометрии. При этом известные арифметические законы не упадут к нам с неба, а будут выведены из принятых аксиом. Даже такой факт как "дважды два -- четыре" доказывается, хотя само доказательство весьма простое.
Аксиомы арифметики формулируются намного проще аксиом геометрии. В этой связи может показаться странным, что не только в школе, но даже во многих вузах их не только не изучают, но даже не упоминают об их существовании. Разумеется, математикам-профессионалам всё это прекрасно известно, но вот выпускники технических вузов запросто об аксиомах арифметики могли и не слышать.
Я предлагаю сделать сначала несколько простых наблюдений, а потом выписать в явном виде все аксиомы арифметики, которых будет всего пять. Мы возьмём за основу "школьную" версию натурального ряда, считая, что он начинается с единицы. (В некоторых версиях удобнее начинать его с нуля, но это специально оговаривается.)
Итак, посмотрим на натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, ... и так далее. Что мы можем заметить? В начале стоит число 1, а за каждым числом стоит следующее. Далее, у каждого числа кроме единицы имеется предыдущее. Эти простейшие замечания охватывают четыре из пяти нужных нам аксиом. О пятой аксиоме, наиболее важной из всех, следует поговорить особо. Пока что мы её можем сформулировать несколько упрощённо, сказав, что до любого натурального числа можно досчитать (хотя бы в принципе), начиная с единицы и переходя от очередного числа к следующему за ним.
Сейчас мы немного отвлечёмся и рассмотрим такую известную задачу: как быстро найти сумму 1+2+...+100, т.е. сложить числа от 1 до 100? Один из способов состоит в том, чтобы сгруппировать первое число с последним, второе -- с предпоследним и так далее. Всего получится 50 пар, а в каждой паре сумма чисел составит 101. Поэтому вся сумма равняется 5050. Нетрудно проверить, что на самом деле сумма первых n натуральных чисел составит n(n+1)/2 для любого n. То есть мы имеем такую формулу: 1+2+...+n = n(n+1)/2. Это один из примеров утверждения, справедливого для всех натуральных чисел. Можно привести и другие примеры. Возьмём известное правило: от перестановки слагаемых сумма не меняется. В виде формулы мы можем записать этот закон так: a+b=b+a (опять же для любых натуральных чисел a и b).
Итак, мы видим, что ситуация, когда нечто требуется доказать для всех натуральных чисел, встречается весьма часто. Поскольку натуральных чисел бесконечно много, то и частных утверждений приходится доказывать бесконечно много. Возьмём в качестве примера упоминавшийся выше закон a+b=b+a. Число a мы зафиксируем, а число b будем менять. Мы получим бесконечное число утверждений: a+1=1+a, a+2=2+a, a+3=3+a, ... и так далее. Как можно в принципе доказать разом бесконечное число утверждений? Представим себе, что мы доказали самое первое. Затем из него вывели второе. Затем из второго вывели третье, и так до бесконечности. Идея состоит в том, что если каждое следующее утверждение выводится из предыдущего одним и тем же способом, то достаточно доказать первое утверждение, а потом объяснить, каким образом из любого утверждения списка выводится следующее за ним.
Сейчас нам удобно будет ввести важное для дальнейшего обозначение. Для любого натурального числа n мы обозначим следующее за ним число через n'. Может возникнуть вопрос: почему n', а не n+1? Ведь n' на самом деле равно n+1. Это правда, но мы при построении аксиоматики будем базироваться только на понятии единицы и понятии следующего натурального числа. Сложение -- это уже отдельная операция, которая будет определена после того, как мы выпишем все аксиомы. То же касается умножения.
Итак, вернёмся к примеру из предыдущего абзаца. Для того, чтобы доказать бесконечную цепочку однотипных утверждений, нам достаточно научиться решать две задачи, которые мы будем называть "Базой" и "Шагом". Базой будет называться доказательство первого утверждения списка. Шагом -- переход от одного утверждения списка к следующему за ним. В рассматриваемом примере это выглядит так:
База. Требуется доказать, что a+1=1+a.
Шаг. Известно, что a+b=b+a для некоторых a,b. Требуется вывести отсюда, что a+b'=b'+a.
Такой приём, который мы здесь использовали, называется методом математической индукции. А теперь дадим полный список аксиом арифметики. Их называют аксиомами Пеано по имени итальянского математика Джузеппе Пеано (1858--1932).
(А1) 1 есть натуральное число.
(А2) Для любого натурального числа n имеется натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом, следующим за n.
(А3) Если m'=n' для каких-либо натуральных чисел m,n, то m=n.
(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1.
(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P, и для любого числа n, обладающего свойством P, следующее за ним число n' также обладает свойством P, то всякое натуральное число обладает свойством P.
Последняя аксиома называется принципом математической индукции. По сути она и означает, что до любого числа можно досчитать. Метод доказательства, который мы описали выше, как раз и основан на этой аксиоме. То есть если мы хотим доказать что неким свойством P обладают все натуральные числа, то мы осуществляем две проверки. Сначала проверяем, что 1 обладает свойством P -- "База", а затем предполагаем, что какое-то число n уже обладает свойством P и доказываем, что следующее за ним число n' также обладает свойством P -- "Шаг". (Грубо говоря, мы при этом "шагаем" от n к n'.)
Помимо аксиом и теорем в математике также используются определения. Мы имеем право использовать пока только число 1 и применять операцию перехода к следующему числу. Что такое число 2? Пока что оно не определено. Но мы можем дать его определение, сказав, что 2 -- это число, следующее за 1, т.е. 1'. Теперь мы знаем, что такое 2 и имеем право определить число 3 при помощи равенства 3=2'. Понятно, что далее мы определяем число 4 как 3' и так далее. Все числа оказываются теперь в нашем
распоряжении.
Пока что мы не умеем ни складывать, ни умножать числа. Поэтому нам потребуется определить операцию сложения, то есть придать смысл записи x+y, где x,y -- натуральные числа. Зафиксируем x и определим последовательно значения выражений x+1, x+2, x+3, ... и так далее. Здесь нам на помощь снова приходит идея индукции. Какова первая задача -- "База"? Надо определить значение выражения x+1. Как это сделать -- понятно: нужно положить по определению, что x+1 есть не что иное как x'. Вторая задача -- это "Шаг". Мы будем "шагать" от числа y к числу y', т.е. будем считать, что значение выражения x+y для данных двух чисел уже определено, и теперь надо определить, чему равно значение выражения x+y'. Легко понять, что это значение на единицу превышает x+y, т.е. следует за ним. И потому за x+y' нам следует принять не что иное как (x+y)'. Выпишем отдельно получившееся определение сложения:
(S1) x+1=x'
(S2) x+y'=(x+y)'
По сути дела, мы последовательно учимся прибавлять к данному числу x все числа: 1, 2, 3, ... . Правило (S1) показывает нам, как прибавить единицу. Чтобы прибавить двойку, т.е. число 1', мы пользуемся правилом (S2), уже зная, что такое x+1. После этого мы знаем, что такое x+2 и по правилу (S2) находим x+3, т.е. x+2'. Тем самым сумму любых двух чисел мы определили.
Осталось определить операцию умножения, т.е. научиться находить произведение x*y любых натуральных чисел. Мы действуем аналогично. Сначала определим выражение x*1 (всем понятно, что оно равно x). Это приводит к правилу (P1) ниже. Далее мы должны предположить, что для каких-то чисел уже известно, что такое x*y, и требуется придать смысл выражению x*y'. Чему оно должно быть равно? Поскольку мы хотим построить обычную арифметику, то должны выполняться все привычные для нас законы. В частности, должно выполняться правило раскрытия скобок. Это значит, что x*y'=x*(y+1)=x*y+x*1=x*y+x. Заметим, что мы здесь не пользовались законом раскрытия скобок (он у нас не доказан), а лишь следовали нашей надежде, что он будет выполняться. В соответствии с ним произведение x*y' должно быть определено именно так, как мы это сделали. Итак, вот определение умножения:
(P1) x*1=x
(P2) x*y'=x*y+x
Обратим внимание на то, что выражение в правой части равенства (P2) имеет смысл. В самом деле, значение x*y для данных чисел определено, а складывать мы умеем какие угодно числа.
Теперь настал торжественный момент. Мы в состоянии доказать (т.е. вывести из аксиом) одно из самых знаменитых равенств: "дважды два -- четыре". При этом, разумеется, мы вовсю будем пользоваться определениями: как самих конкретных чисел -- 2, 3, 4, так и определениями для суммы и произведения, которые у нас выписаны в виде правил.
Теорема. 2*2 = 4.
Доказательство. Мы выпишем цепочку равенств, а затем объясним каждый из переходов: 2*2 = 2*1' = 2*1+2 = 2+2 = 2+1' = (2+1)' = (2')' = 3' = 4. Здесь было использовано восемь равенств. Отметим, что в процессе доказательства мы сначала пришли к выводу, что 2*2=2+2 и лишь затем к тому, что ответом будет 4.
Проанализируем каждое из равенств по отдельности. Сначала мы использовали определение двойки: 2=1'. Второй знак равенства использован на основании правила (P2) при x=2, y=1. Это естественно, так как перед нами стояла задача умножить 2 на 1'. Далее мы воспользовались правилом (P1) при x=2, заменяя 2*1 на 2. Теперь мы должны вычислить 2+2. Второе слагаемое по определению равно 1', т.е. нужно выполнить действие 2+1'. В этом нам поможет правило (S2) при x=2, y=1. Теперь правило (S1) поможет нам вычислить сумму 2+1. Мы получим 2', т.е. 3 в силуопределения тройки. Наконец, последний переход основан на использовании определения числа 4. Теорема доказана!
Вот какие "глубины" скрываются за столь простыми фактами. Ясно, что вся таблица умножения может быть получена таким же образом (т.е. каждое равенство из таблицы умножения -- это отдельная теорема).
Возникает вопрос: а что же идёт дальше? На очереди -- доказательство основных законов арифметики, а именно:
1. (a+b)+c=a+(b+c) -- сочетательный (ассоциативный) закон сложения
2. a+b=b+a -- переместительный (коммутативный) закон сложения
3. (a+b)*c=a*c + b*c -- распределительный (дистрибутивный) закон
4. (a*b)*c=a*(b*c) -- сочетательный (ассоциативный) закон умножения
5. a*b=b*a -- переместительный (коммутативный) закон умножения
Заметим, что при кажущейся "простоте" последний закон имеет довольно длинное (хотя и вполне тривиальное) доказательство, основанное на предыдущих законах.
Все законы доказываются примерно по одной и той же схеме -- методом математической индукции. Проиллюстрируем это на примере первого из них.
Нам требуется доказать, что (a+b)+c = a+(b+c) для любых натуральных чисел a,b,c. Значения первых двух чисел зафиксируем, а третье число c будет последовательно принимать значения c=1, c=2, c=3, ... и так далее. В соответствии с принципом математической индукции достаточно доказать два утверждения: "Базу" (c=1) и "Шаг" (от c к c').
База. Здесь c=1. Требуется доказать, что (a+b)+1=a+(b+1). Действительно, (a+b)+1=(a+b)'=a+b'=a+(b+1). Здесь мы сначала использовали правило (S1) при x=a+b, поменяв местами правую и левую части. Второй переход основан на правиле (S2). Третий переход -- это правило (S1) при x=b.
Шаг. Пусть дано, что (a+b)+c=a+(b+c) для некоторых чисел a,b,c. Требуется доказать, что (a+b)+c'=a+(b+c'). Доказательство: (a+b)+c'=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a+(b+c)'=a+(b+c'). Здесь сначала использовано (S2) при x=a+b, y=c, затем данное нам предположение о том, что (a+b)+c=a+(b+c), потом вновь правило (S2) при x=a, y=b+c и на последнем шаге -- снова (S2) при x=b, y=c.
На этом пути доказываются и другие законы. Заметим, что при доказательстве "Базы" для случая второго из законов мы приходим к необходимости проверить равенство a+1=1+a. Оно само по себе содержит бесконечно много утверждений, и в таких случаях снова работает метод математической индукции. То есть наиболее простой путь состоит в том, чтобы сначала доказать лемму о том, что 1+a=a' (при помощи индукции), а потом воспользоваться леммой в ходе доказательства переместительного закона сложения.
Этими законами всё не ограничивается. Так, часто используются следующие законы сокращения:
6. из условия a+c=b+c следует a=b -- закон сокращения для сложения
7. из условия a*c=b*c следует a=b -- закон сокращения для умножения
(Заметим, что закон 6 верен для любых чисел, а закон 7 -- нет, так как на ноль сокращать нельзя. Но в нашей ситуации все числа положительны, и закон справедлив.) Кстати, мы очень часто использовали аксиому (A5); также мы использовали аксиомы (А1) и (А2), говоря о единице и о взятии следующего числа. Аксиомы (А3) и (А4) не использовались; они нужны для доказательства законов сокращения. Причём закон сокращения для умножения не так-то просто доказать "в лоб", и удобнее всего для начала ввести неравенства и доказать их основные свойства. Проиллюстрируем это на примере определения отношения "меньше". Что означает, что число x меньше числа y? Ясно, что большее из чисел равно сумме меньшего из чисел и ещё какого-то (положительного) числа. Поэтому определение выглядит так: считаем, что x меньше y, если найдётся такое (натуральное) число z, что x+z=y.
Вот так строится арифметика. Основные понятия, аксиомы, определения, теоремы. Отдельно заметим, что мы говорили лишь об элементарных свойствах чисел. А вообще-то теория чисел -- наука очень сложная: в ней имеются открытые проблемы, поставленные несколько сотен лет назад, формулировка которых понятна любому школьнику. Они пока ждут своего решения."
"Этот текст -- популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем, нет смысла знакомиться с написанным. Для профессиональных математиков всё излагаемое является стандартным.
Всякий, кто учился в школе, слышал о том, что в геометрии есть аксиомы. Ну, типа того, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Полный список аксиом геометрии довольно длинный, и в подробностях это дело в школе не изучается. Но все или почти все так или иначе знают, что на основании аксиом при помощи логических рассуждений доказывают разные теоремы. Например, знаменитую теорему Пифагора.
А как дело обстоит в арифметике? У многих это слово ассоциируется с любимой таблицей умножения, действиями над числами вроде сложения или умножения "столбиком". Как ни странно, в школе ни слова не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на аксиомах подобно тому, как это делается в геометрии. При этом известные арифметические законы не упадут к нам с неба, а будут выведены из принятых аксиом. Даже такой факт как "дважды два -- четыре" доказывается, хотя само доказательство весьма простое.
Аксиомы арифметики формулируются намного проще аксиом геометрии. В этой связи может показаться странным, что не только в школе, но даже во многих вузах их не только не изучают, но даже не упоминают об их существовании. Разумеется, математикам-профессионалам всё это прекрасно известно, но вот выпускники технических вузов запросто об аксиомах арифметики могли и не слышать.
Я предлагаю сделать сначала несколько простых наблюдений, а потом выписать в явном виде все аксиомы арифметики, которых будет всего пять. Мы возьмём за основу "школьную" версию натурального ряда, считая, что он начинается с единицы. (В некоторых версиях удобнее начинать его с нуля, но это специально оговаривается.)
Итак, посмотрим на натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, ... и так далее. Что мы можем заметить? В начале стоит число 1, а за каждым числом стоит следующее. Далее, у каждого числа кроме единицы имеется предыдущее. Эти простейшие замечания охватывают четыре из пяти нужных нам аксиом. О пятой аксиоме, наиболее важной из всех, следует поговорить особо. Пока что мы её можем сформулировать несколько упрощённо, сказав, что до любого натурального числа можно досчитать (хотя бы в принципе), начиная с единицы и переходя от очередного числа к следующему за ним.
Сейчас мы немного отвлечёмся и рассмотрим такую известную задачу: как быстро найти сумму 1+2+...+100, т.е. сложить числа от 1 до 100? Один из способов состоит в том, чтобы сгруппировать первое число с последним, второе -- с предпоследним и так далее. Всего получится 50 пар, а в каждой паре сумма чисел составит 101. Поэтому вся сумма равняется 5050. Нетрудно проверить, что на самом деле сумма первых n натуральных чисел составит n(n+1)/2 для любого n. То есть мы имеем такую формулу: 1+2+...+n = n(n+1)/2. Это один из примеров утверждения, справедливого для всех натуральных чисел. Можно привести и другие примеры. Возьмём известное правило: от перестановки слагаемых сумма не меняется. В виде формулы мы можем записать этот закон так: a+b=b+a (опять же для любых натуральных чисел a и b).
Итак, мы видим, что ситуация, когда нечто требуется доказать для всех натуральных чисел, встречается весьма часто. Поскольку натуральных чисел бесконечно много, то и частных утверждений приходится доказывать бесконечно много. Возьмём в качестве примера упоминавшийся выше закон a+b=b+a. Число a мы зафиксируем, а число b будем менять. Мы получим бесконечное число утверждений: a+1=1+a, a+2=2+a, a+3=3+a, ... и так далее. Как можно в принципе доказать разом бесконечное число утверждений? Представим себе, что мы доказали самое первое. Затем из него вывели второе. Затем из второго вывели третье, и так до бесконечности. Идея состоит в том, что если каждое следующее утверждение выводится из предыдущего одним и тем же способом, то достаточно доказать первое утверждение, а потом объяснить, каким образом из любого утверждения списка выводится следующее за ним.
Сейчас нам удобно будет ввести важное для дальнейшего обозначение. Для любого натурального числа n мы обозначим следующее за ним число через n'. Может возникнуть вопрос: почему n', а не n+1? Ведь n' на самом деле равно n+1. Это правда, но мы при построении аксиоматики будем базироваться только на понятии единицы и понятии следующего натурального числа. Сложение -- это уже отдельная операция, которая будет определена после того, как мы выпишем все аксиомы. То же касается умножения.
Итак, вернёмся к примеру из предыдущего абзаца. Для того, чтобы доказать бесконечную цепочку однотипных утверждений, нам достаточно научиться решать две задачи, которые мы будем называть "Базой" и "Шагом". Базой будет называться доказательство первого утверждения списка. Шагом -- переход от одного утверждения списка к следующему за ним. В рассматриваемом примере это выглядит так:
База. Требуется доказать, что a+1=1+a.
Шаг. Известно, что a+b=b+a для некоторых a,b. Требуется вывести отсюда, что a+b'=b'+a.
Такой приём, который мы здесь использовали, называется методом математической индукции. А теперь дадим полный список аксиом арифметики. Их называют аксиомами Пеано по имени итальянского математика Джузеппе Пеано (1858--1932).
(А1) 1 есть натуральное число.
(А2) Для любого натурального числа n имеется натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом, следующим за n.
(А3) Если m'=n' для каких-либо натуральных чисел m,n, то m=n.
(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1.
(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P, и для любого числа n, обладающего свойством P, следующее за ним число n' также обладает свойством P, то всякое натуральное число обладает свойством P.
Последняя аксиома называется принципом математической индукции. По сути она и означает, что до любого числа можно досчитать. Метод доказательства, который мы описали выше, как раз и основан на этой аксиоме. То есть если мы хотим доказать что неким свойством P обладают все натуральные числа, то мы осуществляем две проверки. Сначала проверяем, что 1 обладает свойством P -- "База", а затем предполагаем, что какое-то число n уже обладает свойством P и доказываем, что следующее за ним число n' также обладает свойством P -- "Шаг". (Грубо говоря, мы при этом "шагаем" от n к n'.)
Помимо аксиом и теорем в математике также используются определения. Мы имеем право использовать пока только число 1 и применять операцию перехода к следующему числу. Что такое число 2? Пока что оно не определено. Но мы можем дать его определение, сказав, что 2 -- это число, следующее за 1, т.е. 1'. Теперь мы знаем, что такое 2 и имеем право определить число 3 при помощи равенства 3=2'. Понятно, что далее мы определяем число 4 как 3' и так далее. Все числа оказываются теперь в нашем
распоряжении.
Пока что мы не умеем ни складывать, ни умножать числа. Поэтому нам потребуется определить операцию сложения, то есть придать смысл записи x+y, где x,y -- натуральные числа. Зафиксируем x и определим последовательно значения выражений x+1, x+2, x+3, ... и так далее. Здесь нам на помощь снова приходит идея индукции. Какова первая задача -- "База"? Надо определить значение выражения x+1. Как это сделать -- понятно: нужно положить по определению, что x+1 есть не что иное как x'. Вторая задача -- это "Шаг". Мы будем "шагать" от числа y к числу y', т.е. будем считать, что значение выражения x+y для данных двух чисел уже определено, и теперь надо определить, чему равно значение выражения x+y'. Легко понять, что это значение на единицу превышает x+y, т.е. следует за ним. И потому за x+y' нам следует принять не что иное как (x+y)'. Выпишем отдельно получившееся определение сложения:
(S1) x+1=x'
(S2) x+y'=(x+y)'
По сути дела, мы последовательно учимся прибавлять к данному числу x все числа: 1, 2, 3, ... . Правило (S1) показывает нам, как прибавить единицу. Чтобы прибавить двойку, т.е. число 1', мы пользуемся правилом (S2), уже зная, что такое x+1. После этого мы знаем, что такое x+2 и по правилу (S2) находим x+3, т.е. x+2'. Тем самым сумму любых двух чисел мы определили.
Осталось определить операцию умножения, т.е. научиться находить произведение x*y любых натуральных чисел. Мы действуем аналогично. Сначала определим выражение x*1 (всем понятно, что оно равно x). Это приводит к правилу (P1) ниже. Далее мы должны предположить, что для каких-то чисел уже известно, что такое x*y, и требуется придать смысл выражению x*y'. Чему оно должно быть равно? Поскольку мы хотим построить обычную арифметику, то должны выполняться все привычные для нас законы. В частности, должно выполняться правило раскрытия скобок. Это значит, что x*y'=x*(y+1)=x*y+x*1=x*y+x. Заметим, что мы здесь не пользовались законом раскрытия скобок (он у нас не доказан), а лишь следовали нашей надежде, что он будет выполняться. В соответствии с ним произведение x*y' должно быть определено именно так, как мы это сделали. Итак, вот определение умножения:
(P1) x*1=x
(P2) x*y'=x*y+x
Обратим внимание на то, что выражение в правой части равенства (P2) имеет смысл. В самом деле, значение x*y для данных чисел определено, а складывать мы умеем какие угодно числа.
Теперь настал торжественный момент. Мы в состоянии доказать (т.е. вывести из аксиом) одно из самых знаменитых равенств: "дважды два -- четыре". При этом, разумеется, мы вовсю будем пользоваться определениями: как самих конкретных чисел -- 2, 3, 4, так и определениями для суммы и произведения, которые у нас выписаны в виде правил.
Теорема. 2*2 = 4.
Доказательство. Мы выпишем цепочку равенств, а затем объясним каждый из переходов: 2*2 = 2*1' = 2*1+2 = 2+2 = 2+1' = (2+1)' = (2')' = 3' = 4. Здесь было использовано восемь равенств. Отметим, что в процессе доказательства мы сначала пришли к выводу, что 2*2=2+2 и лишь затем к тому, что ответом будет 4.
Проанализируем каждое из равенств по отдельности. Сначала мы использовали определение двойки: 2=1'. Второй знак равенства использован на основании правила (P2) при x=2, y=1. Это естественно, так как перед нами стояла задача умножить 2 на 1'. Далее мы воспользовались правилом (P1) при x=2, заменяя 2*1 на 2. Теперь мы должны вычислить 2+2. Второе слагаемое по определению равно 1', т.е. нужно выполнить действие 2+1'. В этом нам поможет правило (S2) при x=2, y=1. Теперь правило (S1) поможет нам вычислить сумму 2+1. Мы получим 2', т.е. 3 в силуопределения тройки. Наконец, последний переход основан на использовании определения числа 4. Теорема доказана!
Вот какие "глубины" скрываются за столь простыми фактами. Ясно, что вся таблица умножения может быть получена таким же образом (т.е. каждое равенство из таблицы умножения -- это отдельная теорема).
Возникает вопрос: а что же идёт дальше? На очереди -- доказательство основных законов арифметики, а именно:
1. (a+b)+c=a+(b+c) -- сочетательный (ассоциативный) закон сложения
2. a+b=b+a -- переместительный (коммутативный) закон сложения
3. (a+b)*c=a*c + b*c -- распределительный (дистрибутивный) закон
4. (a*b)*c=a*(b*c) -- сочетательный (ассоциативный) закон умножения
5. a*b=b*a -- переместительный (коммутативный) закон умножения
Заметим, что при кажущейся "простоте" последний закон имеет довольно длинное (хотя и вполне тривиальное) доказательство, основанное на предыдущих законах.
Все законы доказываются примерно по одной и той же схеме -- методом математической индукции. Проиллюстрируем это на примере первого из них.
Нам требуется доказать, что (a+b)+c = a+(b+c) для любых натуральных чисел a,b,c. Значения первых двух чисел зафиксируем, а третье число c будет последовательно принимать значения c=1, c=2, c=3, ... и так далее. В соответствии с принципом математической индукции достаточно доказать два утверждения: "Базу" (c=1) и "Шаг" (от c к c').
База. Здесь c=1. Требуется доказать, что (a+b)+1=a+(b+1). Действительно, (a+b)+1=(a+b)'=a+b'=a+(b+1). Здесь мы сначала использовали правило (S1) при x=a+b, поменяв местами правую и левую части. Второй переход основан на правиле (S2). Третий переход -- это правило (S1) при x=b.
Шаг. Пусть дано, что (a+b)+c=a+(b+c) для некоторых чисел a,b,c. Требуется доказать, что (a+b)+c'=a+(b+c'). Доказательство: (a+b)+c'=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a+(b+c)'=a+(b+c'). Здесь сначала использовано (S2) при x=a+b, y=c, затем данное нам предположение о том, что (a+b)+c=a+(b+c), потом вновь правило (S2) при x=a, y=b+c и на последнем шаге -- снова (S2) при x=b, y=c.
На этом пути доказываются и другие законы. Заметим, что при доказательстве "Базы" для случая второго из законов мы приходим к необходимости проверить равенство a+1=1+a. Оно само по себе содержит бесконечно много утверждений, и в таких случаях снова работает метод математической индукции. То есть наиболее простой путь состоит в том, чтобы сначала доказать лемму о том, что 1+a=a' (при помощи индукции), а потом воспользоваться леммой в ходе доказательства переместительного закона сложения.
Этими законами всё не ограничивается. Так, часто используются следующие законы сокращения:
6. из условия a+c=b+c следует a=b -- закон сокращения для сложения
7. из условия a*c=b*c следует a=b -- закон сокращения для умножения
(Заметим, что закон 6 верен для любых чисел, а закон 7 -- нет, так как на ноль сокращать нельзя. Но в нашей ситуации все числа положительны, и закон справедлив.) Кстати, мы очень часто использовали аксиому (A5); также мы использовали аксиомы (А1) и (А2), говоря о единице и о взятии следующего числа. Аксиомы (А3) и (А4) не использовались; они нужны для доказательства законов сокращения. Причём закон сокращения для умножения не так-то просто доказать "в лоб", и удобнее всего для начала ввести неравенства и доказать их основные свойства. Проиллюстрируем это на примере определения отношения "меньше". Что означает, что число x меньше числа y? Ясно, что большее из чисел равно сумме меньшего из чисел и ещё какого-то (положительного) числа. Поэтому определение выглядит так: считаем, что x меньше y, если найдётся такое (натуральное) число z, что x+z=y.
Вот так строится арифметика. Основные понятия, аксиомы, определения, теоремы. Отдельно заметим, что мы говорили лишь об элементарных свойствах чисел. А вообще-то теория чисел -- наука очень сложная: в ней имеются открытые проблемы, поставленные несколько сотен лет назад, формулировка которых понятна любому школьнику. Они пока ждут своего решения."